驴桥定理

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Byrne版幾何原本中,驢橋定理的內容,有列出部份欧几里得的證明

驢橋定理拉丁语Pons asinorum),也稱為等腰三角形定理,是在欧几里得几何中的一個數學定理,是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。等腰三角形定理也是欧几里得幾何原本第一卷命題五的內容。

有關其名稱驢橋定理的由來有二種:一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋,另外一種比較廣為大家接受,是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試,並且做為往後續更困難命題的橋樑[1]幾何學是列在中世紀四術之中,驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題,是數學能力的一個門檻,也稱之為「笨蛋的難關」[2],無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何,驢橋定理一詞也變成是一種隱喻,是指對能力或了解程度的關鍵測試,可以將了解及不了解的人區分開來[3]

證明[编辑]

欧几里得的證明[编辑]

欧几里得幾何原本第一卷的命題五

欧几里得的證明包括第二個結論,就是若三角形的二腰延伸超過底邊,則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。欧几里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線,但當時的數學家普罗克鲁斯英语Proclus指出他沒有用到第二個結論,而且若在三角形內部繪輔助線,會使證明比較簡單。欧几里得的證明用到稱為SAS的三角形全等,是幾何原本中的上一個命題。

另一種證明方式[编辑]

另一個證明

在教科書(例如人教版數學教科書在八年級“軸對稱”一章)上常見的作法是作頂角A的角平分線[4]。此證明方式比歐幾里德的簡單,但在幾何原本中命題9才是作角平分線[5],因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線,會有循環論證的問題。

其證明如下:

  1. 令三角形為ABC,其中線段AB = 線段AC。
  2. 作角BAC的角平分線,和線BC交與X點。
  3. 線段AB = 線段AC,線段AX和自身等長,而且角BAX = 角CAX,因此依照SAS全等,三角形BAX和CAX全等,因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《几何原理英语Éléments de géométrie》用了一個類似的方式證明,不過令X是線段BC的中點[6]。其證明方式類似,但是會用到SSS全等,而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

用作隱喻的驢橋定理[编辑]

相關條目[编辑]

  • 示播列:舊約聖經中試驗是否為以法蓮人的一句話,是用來區別一個人的社會或地區背景的指標。

參考資料[编辑]

  1. ^ D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
  2. ^ 吳任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通訊第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. 
  3. ^ Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam
  4. ^ 例如J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
  5. ^ 洪萬生. 驢橋定理. 科學月刊1983年4月160期. [2013-08-21]. 
  6. ^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  7. ^ 7.0 7.1 A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
  8. ^ Henry Dunning Macleod The Elements of Economics (1886 D. Appleton) Vol. 2 p. 96