高合成数

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高合成数指一类整數,任何比它小的自然数因子数目均比这个数的因子数目少。

最小的20个高合成数为:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, OEIS中的数列A002182
正因子个数 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64, OEIS中的数列A002183

高度合成数有无限个。证明这点,可用反证法。假设n是最大的高度合成数。显然2nn有更多因子,所以2n才是最大的高度合成数,矛盾,故高度合成数有无限个。

大於6的高度合成數亦是豐數

這些數常見於量度系統,在工程設計亦很常用,因為它們在分數計算時很方便。

Q(x)表示所有小於或等於x的高度合成数的数目,則存在两个均大於1的常数a,b,使得∶

\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b \, .

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