高德納箭號表示法

高德納箭號表示法是種用來表示很大的整數的方法，由高德納於1976年設計。它的意念來自冪是重複的乘法，乘法是重複的加法。

簡介

乘法是重複的加法：$a \times b = a+a+...+a$ （有$b$個$a$）

冪是重複的乘法：$a^b = a \uparrow b = a \times a \times ... \times a$（有$b$個$a$）

於是高德納定義「雙箭號」運算符，作重複的冪運算，或稱迭代冪次（tetration）： $a \uparrow\uparrow b= \begin{matrix} \underbrace{ a \uparrow a \uparrow ... \uparrow a } \\ b\end{matrix} = a^{a^{a^{...}}}$

計算時是由右至左計的。

$3\uparrow\uparrow2=3^3=27\,\!$

$3\uparrow\uparrow3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow\uparrow4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}$

多於兩個箭號時，

$3\uparrow\uparrow\uparrow 2=3 \uparrow\uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987\,\!$

$3\uparrow\uparrow\uparrow 3= 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 = 3 \uparrow 3 \uparrow ... \uparrow 3$（最後有7625597484987個3）

一般化

若果要用多個箭號時，可用↑ⁿ表示，但有些數還是大得連這種表示法也不夠用，例如葛立恆數。

這時可能用hyper運算符或康威鏈式箭號表示法方便一點。

$\begin{matrix} a\uparrow^n b & = & \mbox{hyper}(a,n+2,b) & = & a\to b\to n \\ \mbox{(Knuth)} & & & & \mbox{(Conway)} \end{matrix}$

定義

對於整數$a$、非負整數$b$和正整數$n$：

$a\uparrow^n b= \left\{ \begin{matrix} 1, \\ a^b, \\ a\uparrow^{n-1}(a\uparrow^n(b-1)), \end{matrix} \right.$	若$b=0$；
	若$n=1$；
	其他。

這個表示法符合向右結合律。

參考

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• 埃里克·韦斯坦因, Arrow Notation at MathWorld
• Robert Munafo, Large Numbers