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高斯定律

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在閉合曲面 \mathbb{A} 的內部有電荷 Q ,因此會在閉合曲面產生電場 \mathbf{E}

高斯定律Gauss' law)表明在闭合曲面内的电荷分佈與產生的電場之間的關係:

其中,\mathbf{E}电场d\mathbf{a}' 为閉合曲面 \mathbb{A} 的微分面积,由曲面向外定义为其方向,Q 为闭合曲面内的电荷,\epsilon_0真空電容率
  • 其微分形式为:\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0} ;其中,\rho 为电荷密度(单位 C/m3)。
  • 在线性材料中,等式变为\nabla \cdot \epsilon \mathbf{E} = \rho ;其中\epsilon 为材料的電容率

此方程是卡尔·高斯在1835年提出的,但直到1867年才发布。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律,而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性,高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量,例如引力或者輻照度。参看散度定理

積分形式[编辑]

採用國際單位制,對於空間內的任意體積 \mathbb{V} ,其表面 \mathbb{A} ,真空中的高斯定律的積分形式可以用方程式表達為

\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q}{\epsilon_0} ;

其中,\mathbf{E}电场d\mathbf{a}' 为閉合曲面 \mathbb{A} 的微分面积,由曲面向外定义为其方向,Q 是在體積 \mathbb{V} 內的總電荷數量。

  • 電通量 \Phi_{\mathbb{A}} 是穿過曲面 \mathbb{A}電場線數量:
\Phi_{\mathbb{A}}=\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'

應用[编辑]

給予空間的某個區域內,任意位置的電場。原則上,應用高斯定律,可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面,再乘以真空電容率,就可以得到那區域內的電荷數量。

但是,更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈,求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量,這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。

假若,問題本身顯示出某種對稱性,促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼,就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等,這些空間的對稱性,都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場,請參閱高斯曲面Gaussian surface)。

微分形式[编辑]

高斯定律的方程式的微分形式為

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

其中 \rho体电荷密度\epsilon_0真空电容率

在數學裏,高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。

自由電荷的高斯定律[编辑]

自由電荷與束縛電荷[编辑]

自由電荷是自由移動,不被束縛於原子分子內的電荷;而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及電介質的問題時,才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時,電介質內的束縛電荷會被外電場影響,雖然仍舊束縛於其微觀區域(原子或分子),但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。

雖然微觀而言,不論是自由電荷,還是束縛電荷,本質上都是電荷。實際而言,對於某些案例,使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候,由於問題比較複雜,缺乏對稱性,必需採用其它方法來解析問題。

積分形式[编辑]

對於空間內的任意體積 \mathbb{V} ,其表面 \mathbb{A} ,這個高斯定律表述,可以用積分形式的方程式表達為

\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{D}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=Q_{\mathrm{free}} ;

其中,\mathbf{D}电位移d\mathbf{a}' 为閉合曲面 \mathbb{A} 的微分面积,由曲面向外定义为其方向,Q_{\mathrm{free}} 是在體積 \mathbb{V} 內的自由電荷數量。

微分形式[编辑]

只涉及自由電荷,這個高斯定律表述的微分形式可以表達為

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

其中,\rho_{\mathrm{free}} 是自由電荷密度,完全不包括束縛電荷。

請注意,在某種狀況下,雖然區域內可能沒有自由電荷,\rho_{\mathrm{free}}=0 。但是,這並不表示电位移等於 0 。因為,

\mathbf{D}=\epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}

其中,\mathbf{P}電極化強度

旋度於方程式的兩邊,

\mathbf{\nabla}\times\mathbf{D}=\mathbf{\nabla}\times\epsilon_0 \mathbf{E} +\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}=\mathbf{\nabla}\times \mathbf{P}

所以,电位移很可能不等於 0 。最典型的例子是永電體

在數學裏,高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。

等價證明[编辑]

線性電介質[编辑]

線性電介質有一個簡單良好的性質,其 \mathbf{D}\mathbf{E} 的關係方程式為

\epsilon \mathbf{E}=\mathbf{D}

其中,\epsilon 是物質的電容率

對於線性電介質,又有一對等價的高斯定律表述:

\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}'=\frac{Q_{\mathrm{free}}}{\epsilon}
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\epsilon}

高斯定律與庫侖定律的關係[编辑]

從庫侖定律推導高斯定律[编辑]

庫侖定律闡明,一個固定的點電荷的電場是

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q'}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}

其中,q' 是點電荷,\mathbf{r} 是電場位置,\mathbf{r}' 是點電荷位置。

根據這方程式,計算位於 \mathbf{r}' 的無窮小電荷元素所產生的位於 \mathbf{r} 的電場,積分體積曲域 \mathbb{V} 內所有的無窮小電荷元素,可以得到電荷分佈所產生的電場:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

取這方程式兩邊對於 \mathbf{r}散度

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}}\rho(\mathbf{r}') \nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

注意到

\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

其中, \delta(\mathbf{r})狄拉克δ函數

所以,\mathbf{E}(\mathbf{r}) 的散度是

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r}')\ \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3 \mathbf{r}'

利用狄拉克δ函數的挑選性質,可以得到高斯定律的微分形式:

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0

由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷,對於移動電荷,這導引不能証明高斯定律成立。事實是,對於移動電荷,高斯定律也成立。所以,從這角度來看,高斯定律比庫侖定律更一般化。

從高斯定律推導庫侖定律[编辑]

嚴格地說,從高斯定律不能數學推導出庫侖定律,高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料(參閱亥姆霍茲定理法拉第電磁感應定律)。但是,假若能夠添加一個對稱性假定,即電荷造成的電場是球對稱的(就像庫侖定律本身一樣,在固定不動電荷的狀況,這假設是正確的;在移動電荷的狀況,這假設是近乎正確的),那麼,就可以從高斯定律推導出庫侖定律。

高斯定律的方程式為

\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' = Q/\epsilon_0

設定高斯定律積分的曲面 \mathbb{A} 為一個半徑 r 圓球面,圓心位置在電荷 Q 的位置。那麼,由於球對稱性,\mathbf{E}=E(r)\hat{\mathbf{r}}E(r)d\mathbf{a}' 無關,可以將 E(r) 從積分內提出:

\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}' =E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}'=E(r)\iint_{\mathbb{A}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathrm{d}a=4\pi r^2E(r)=Q/\epsilon_0

所以,庫侖定律成立:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, pp. 326–333, 1998, ISBN 0-13-805326-X 
  • Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1. 

外部連結[编辑]

  • 麻省理工學院物理系影視教學系列:電磁學