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高斯散度定理

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分
散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量,例如,任何左邊的曲面;散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面,例如,任何右邊的曲面。在這圖內,曲面以藍色顯示,邊界以紅色顯示。

高斯公式,又称为散度定理高斯散度定理高斯-奥斯特罗格拉德斯基公式高-奥公式,是指在向量分析中,一个把向量场通过曲面的流动(即通量)与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

更加精确地说,高斯公式说明向量场穿过曲面的通量,等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地,所有源点的和减去所有汇点的和,就是流出一个区域的流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果,特别是静电学流体力学

在物理和工程中,散度定理通常运用在三维空间中。然而,它可以推广到任意维数。在一维,它等价于微积分基本定理;在二维,它等价于格林公式

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

定理[编辑]

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数,则有[1]

\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\oiint\scriptstyle \SigmaP\,dy\and dz+Q\,dz\and dx+R\,dx\and dy

\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dv=\oiint\scriptstyle \Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量方向余弦

这两个公式叫做高斯公式

用散度表示[编辑]

高斯公式用散度表示为:[2]

\iiint_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{A}dv=\oiint\scriptstyle \SigmaA_{n}dS .

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而

A_n=\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma

n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

用向量表示[编辑]

V代表有一间单闭曲面S为边界的体积,\mathbf{f}是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果d\mathbf{S}是外法向矢量面元,则

\int_S \mathbf{f}\cdot d\mathbf{S}=\int_V \nabla\cdot\mathbf{f}dV

推论[编辑]

  • 对于标量函数g和向量场F的积,应用高斯公式可得:

\iiint_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) dV
  = \iint_{\part V}g \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
  • 对于两个向量场\mathbf{F}\times \mathbf{G}的向量积,应用高斯公式可得:
\iiint_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, dV = \iint_{\part V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot d\mathbf{S}
  • 对于标量函数f和非零常向量的积,应用高斯公式可得:
\iiint_V \nabla f\, dV = \iint\limits_{\part V} f \,d\mathbf{S}
  • 对于向量场F和非零常向量的向量积,应用高斯公式可得:
\iiint_V \nabla\times\mathbf{F}\, dV = \iint_{\part V}d\mathbf{S} \times\mathbf{F}.

例子[编辑]

例子所对应的向量场。注意,向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

\oiint\scriptstyle S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} \, dS,

其中S是一个单位球面,定义为

S = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \}.

F向量场

\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.

直接计算这个积分是相当困难的,但我们可以用高斯公式来把它简化:


   \iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV
= 2\iiint_W (1 + y + z)\,dV
= 2\iiint_W dV + 2\iiint_W y\,dV + 2\iiint_W z\,dV.

其中W是单位球:

W = \left \{ x,y, z \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.

由于函数yz奇函数,我们有:

\iiint_W y\, dV = \iiint_W z\, dV = 0.

因此:

\oiint\scriptstyle S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,{d}S = 2\iiint_W\, dV = \frac{8\pi}{3},

因为单位球W体积4π/3.

二阶张量的高斯公式[编辑]

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整,首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量(详见并矢张量张量积)以及相关的概念和记号。在这里,矢量和矢量场用黑斜体字母表示,张量用正黑体字母表示。

  1. 两个矢量 \boldsymbol{a}\boldsymbol{b} 并排放在一起所形成的量 \boldsymbol{ab} 被称为矢量 \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}并矢并矢张量。要注意,一般来说,\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}
  2. \boldsymbol{ab} = 0 的充分必要条件是 \boldsymbol{a} = 0\boldsymbol{b} = 0
  3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
  4. \boldsymbol{ab} 分别线性地依赖于 \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}
  5. 二阶张量 \mathbf{T} 和矢量 \boldsymbol{a} 的缩并 \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} 以及 \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}\mathbf{T}\boldsymbol{a} 都是线性的。
  6. 特别是,当 \mathbf{T} = \boldsymbol{uv} 时,

  \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a}
  = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a})
  \, , \qquad
  \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv})
  = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v}
  , ,

所以,一般说来,\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}

下面举一个例子:用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写 (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})


  (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}
  = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
  - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a}
  = - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c}
  \, , \qquad
  \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})
  = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b}
  - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c}
  = - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb})
  \, .

我们还用到二阶张量 \mathbf{T}转置 \mathbf{T}' (又可以记为 \mathbf{T}^{\mathrm{t}}),定义如下:

  1. \mathbf{T}' 仍然是一个二阶张量,并且线性地依赖于 \mathbf{T}
  2. (\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}

定理:V 是三维欧几里得空间中的一个有限区域S 是它的边界曲面,\hat{\boldsymbol{n}}S 的外法线方向上的单位矢量\mathbf{T} 是定义在 V 的某个开邻域上的 C^1 连续的二阶张量场,\mathbf{T}'\mathbf{T} 的转置,则


  \iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, dS
  = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, dV
  \, , \qquad
  \iint_S  \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS
  = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, dV
  \, .

证明:下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 \boldsymbol{F},则


  \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
  = \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS
  = \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS
  = \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \boldsymbol{n} \, dS
  \, .

接下来利用矢量场的高斯公式,可得


  \boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}
  = \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, dV
  = \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV
  \, ,

于是


  \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F})
  = \boldsymbol{e}_i \iint_S \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV
  = \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV
  = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, dV
  \, .

至此证毕。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
  2. ^ 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:矢量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005