高斯散度定理

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于曲面内部区域的散度的三重积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出一个区域的流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

定理

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

$\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\int\!\!\!\!\int_{\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$

或

$\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\int\!\!\!\!\int_{\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS$

这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦

这两个公式叫做高斯公式。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：

$\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\mathbf{A}dv=\int\!\!\!\!\int_{\Sigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,A_{n}dS$

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而

$A_n=\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma$

n是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。

用向量表示

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，$\mathbf{f}$是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果$d\mathbf{S}$是外法向矢量面元，则

$\int\limits_{S} \mathbf{f}\cdot d\mathbf{S}=\int\limits_{V}\nabla\cdot\mathbf{f}dV$

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

$\iiint\limits_V\left(\mathbf{F}\cdot \left(\nabla g\right) + g \left(\nabla\cdot \mathbf{F}\right)\right) dV = \iint\limits_{\part V}g \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

• 对于两个向量场$\mathbf{F}\times \mathbf{G}$的向量积，应用高斯公式可得：

$\iiint\limits_V \left(\mathbf{G}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{F}\right) - \mathbf{F}\cdot \left( \nabla\times\mathbf{G}\right)\right)\, dV = \iint\limits_{\part V}\left(\mathbf{F}\times\mathbf{G}\right)\cdot d\mathbf{S}$

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

$\iiint\limits_V \nabla f\, dV = \iint\limits_{\part V} f \,d\mathbf{S}$

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

$\iiint\limits_V \nabla\times\mathbf{F}\, dV = \iint\limits_{\part V}d\mathbf{S} \times\mathbf{F}.$

例子

假设我们想要计算

$\iint\limits_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS,$

其中S是由$x^2+y^2+z^2=1$所定义的单位球，F是向量场

$\mathbf{F} = 2 x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.$

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

$\begin{align} \iint\limits_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS &= \iiint\limits_W\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right) \, dV\\ &= 2\iiint\limits_W\left(1+y+z\right) \, dV\\ &= 2\iiint\limits_W \,dV + 2\iiint\limits_W y \,dV + 2\iiint\limits_W z \,dV. \end{align}$

由于函数$y$和$z$是奇函数，我们有：

$\iiint\limits_W y\, dV = \iiint\limits_W z\, dV = 0.$

因此：

$\iint\limits_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 2\iiint\limits_W \,dV = \frac{8\pi}{3}$

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，矢量和矢量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个矢量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 并排放在一起所形成的量 $\boldsymbol{ab}$ 被称为矢量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，$\boldsymbol{ab} \neq \boldsymbol{ba}$。
2. $\boldsymbol{ab} = 0$ 的充分必要条件是 $\boldsymbol{a} = 0$ 或 $\boldsymbol{b} = 0$。
3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4. $\boldsymbol{ab}$ 分别线性地依赖于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$。
5. 二阶张量 $\mathbf{T}$ 和矢量 $\boldsymbol{a}$ 的缩并 $\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a}$ 以及 $\boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$ 对 $\mathbf{T}$ 和 $\boldsymbol{a}$ 都是线性的。
6. 特别是，当 $\mathbf{T} = \boldsymbol{uv}$ 时，

$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{uv}) \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{u} (\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{a}) \, , \qquad \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{uv}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \, \boldsymbol{v} , ,$

所以，一般说来，$\mathbf{T} \cdot \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{T}$。

下面举一个例子：用二阶张量及其与矢量的缩并来重新写 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$ 和 $\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})$。

$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{a} = - (\boldsymbol{ab} - \boldsymbol{ba}) \cdot \boldsymbol{c} \, , \qquad \boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \, \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \, \boldsymbol{c} = - \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{bc} - \boldsymbol{cb}) \, .$

我们还用到二阶张量 $\mathbf{T}$ 的转置 $\mathbf{T}'$ （又可以记为 $\mathbf{T}^{\mathrm{t}}$），定义如下：

1. $\mathbf{T}'$ 仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 $\mathbf{T}$。
2. $(\boldsymbol{uv})' = \boldsymbol{vu}$。

定理： 设 $V$ 是三维欧几里得空间中的一个有限区域，$S$ 是它的边界曲面，$\hat{\boldsymbol{n}}$ 是 $S$ 的外法线方向上的单位矢量，$\mathbf{T}$ 是定义在 $V$ 的某个开邻域上的 $C^1$ 连续的二阶张量场，$\mathbf{T}'$ 是 $\mathbf{T}$ 的转置，则

$\iint_S \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \mathbf{T} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T} \, dV \, , \qquad \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, dV \, .$

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 $\boldsymbol{F}$，则

$\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \cdot \iint_S \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS = \iint_S \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \, dS = \iint_S T^{ij} \boldsymbol{e}_j \cdot \boldsymbol{n} \, dS \, .$

接下来利用矢量场的高斯公式，可得

$\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F} = \iiint_V \nabla \cdot (T^{ij} \boldsymbol{e}_j) \, dV = \iiint_V \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV \, ,$

于是

$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, (\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{e}_i \iint_S \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV = \iiint_V \boldsymbol{e}_i \frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j} \, dV = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{T}' \, dV \, .$

至此证毕。

参阅

• 格林定理
• 斯托克斯定理