高斯整數

高斯整數是複數面上的整點。

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作Z[i]。它是個不可以轉成有序環的歐幾里德域。

高斯整數就是集

$\{a+bi | a,b\in \mathbb{Z} \}$。

高斯整數的范数都是非負整數，定義為N(z×w)=N(z)×N(w)。

Z[i]的單位（1, −1, i及−i）的範數均為1。

作为唯一分解整环

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为1、-1、i，以及-i。

Z[i]的素元素又称为高斯素数。

高斯整数$a+bi$是素数当且仅当：

• a、b中有一个是零，另一个是形为$4n+3$或其相反数$-(4n+3)$的素数；
• 或a、b均不为零，而$a^2+b^2$为素数。

高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数$g$，$g | g\bar{g} =N(g)$。现在，$N(g)$是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数$p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$的乘积。根据素数的定义，如果$g$是素数，则它可以整除$p_i$，对于某个$i$。另外，$\bar g$可以整除$\overline{p_i}=p_i$，因此$N(g) = g\bar{g} | p_{i}^{2}$。于是现在只有两种选择：要么$g$的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数$p$，有$N(g)=p^2$，那么$g$和$\overline{g}$都能整除$p^2$。它们都不能是可逆元，因此$g=pu$，以及$\overline{g}=p\overline{u}$，其中$u$是可逆元。这就是说，要么$a=0$，要么$b=0$，其中$g=a+bi$。

然而，不是每一个素数$p$都是高斯素数。2就不是高斯素数，因为$2=(1+i)(1-i)$。高斯素数不能是$4n+1$的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成$a^2+b^2$的形式，其中$a$和$b$是整数，且$a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)$。剩下的就只有形为$4n+3$的素数了。

形为$4n+3$的素数也是高斯素数。假设$g=p+0i$，其中$p=4n+3$是素数，且可以分解为$g=hk$。那么$p^2=N(g)=N(h)N(k)$。如果这个分解是非平凡的，那么$N(h)=N(k)=p$。但是，任何两个平方数的和都不能写成$4n+3$的形式。因此分解一定是平凡的，所以$g$是高斯素数。

类似地，$i$乘以一个形为$4n+3$的素数也是高斯素数，但$i$乘以形为$4n+1$的素数则不是。

如果$g$是范数为素数的高斯整数，那么$g$是高斯素数。这是因为如果$g=hk$，那么$N(g)=N(h)N(k)$。由于$N(g)$是素数，因此$N(h)$或$N(k)$一定是1，所以$h$或$k$一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是Z在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为$\frac{\sqrt 2}{2}$个单位。因此，Z[i]是一个欧几里德环，其中$v(z) = N(z)$。

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数3，7，11，19，……。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为1的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

參見

• 艾森斯坦整數
• 费马平方和定理
• 二次互反律

参考文献

• C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
• 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
• Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer. 1996, ISBN 0-387-94457-5