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高斯整數

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高斯整數是複數面上的整點。
各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

高斯整數實數虛數部分都是整數複數。所有高斯整數組成了一個整域,寫作Z[i]。它是個不可以轉成有序環歐幾里德域


高斯整數就是

\{a+bi | a,b\in \mathbb{Z} \}

中的元素。高斯整數的范数都是非負整數,定義為N(z×w)=N(z)×N(w)。

Z[i]的單位(1, −1, i及−i)的範數均為1。

作为唯一分解整环[编辑]

高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元为1、-1、i,以及-i

Z[i]的素元素又称为高斯素数


高斯整数a+bi是素数当且仅当:

  • a、b中有一个是零,另一个是形为4n+3或其相反数-(4n+3)的素数;
  • 或a、b均不为零,而a^2+b^2为素数。
高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数gg | g\bar{g} =N(g)。现在,N(g)是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数p_{1}p_{2}\cdots p_{n}的乘积。根据素数的定义,如果g是素数,则它可以整除p_i,对于某个i。另外,\bar g可以整除\overline{p_i}=p_i,因此N(g) = g\bar{g} | p_{i}^{2}。于是现在只有两种选择:要么g的范数是素数,要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数p,有N(g)=p^2,那么g\overline{g}都能整除p^2。它们都不能是可逆元,因此g=pu,以及\overline{g}=p\overline{u},其中u是可逆元。这就是说,要么a=0,要么b=0,其中g=a+bi

然而,不是每一个素数p都是高斯素数。2就不是高斯素数,因为2=(1+i)(1-i)。高斯素数不能是4n+1的形式,因为根据费马平方和定理,它们可以写成a^2+b^2的形式,其中ab是整数,且a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)。剩下的就只有形为4n+3的素数了。

形为4n+3的素数也是高斯素数。假设g=p+0i,其中p=4n+3是素数,且可以分解为g=hk。那么p^2=N(g)=N(h)N(k)。如果这个分解是非平凡的,那么N(h)=N(k)=p。但是,任何两个平方数的和都不能写成4n+3的形式。因此分解一定是平凡的,所以g是高斯素数。

类似地,i乘以一个形为4n+3的素数也是高斯素数,但i乘以形为4n+1的素数则不是。

如果g是范数为素数的高斯整数,那么g是高斯素数。这是因为如果g=hk,那么N(g)=N(h)N(k)。由于N(g)是素数,因此N(h)N(k)一定是1,所以hk一定是可逆元。

作为整闭包[编辑]

高斯整数环是Z高斯有理数中的整闭包,由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环[编辑]

在图中很容易看到,每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为\frac{\sqrt 2}{2}个单位。因此,Z[i]是一个欧几里德环,其中v(z) = N(z)

未解决的问题[编辑]

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的,但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数,还有一些猜想和未解决的问题,例如:

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数3,7,11,19,……。在复平面上,还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗?特别地,实数部分为1的直线上存在无穷多个高斯素数吗?

在高斯素数上行走,步伐小于某个给定的值,可以走到无穷远吗?

參見[编辑]

参考文献[编辑]

  • C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
  • 从数到环:环论的早期历史,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
  • Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5