高斯求积

以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。当我们要求解某个函数的积分$\int_{-1}^{1}f(x) dx$ ，其数值解可以由$\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)$近似，其中$w_i, i = 1 ... n$为权重。高斯求积仅仅当函数$f(x)$可以由在区间[-1, 1]的多项式近似时才能获得准确的近似解，这种方法并不适合函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数$f(x)$写作$f(x) = W(x)g(x)$，其中$g(x)$是近似多项式，$W(x)$是已知的权重函数，这样我们就有

$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 W(x)g(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i' g(x_i)$。

常用的权重函数有

$W(x) = (1 - x^2)^{-1/2}$（高斯切比雪夫）

以及

$W(x) = e^{-x^2}$（高斯埃米特）。

高斯勒让得求积

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数$W(x)=1$时，关联多项式为勒让得多项式$P_n(x)$，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式。

$w_i = \frac{2}{(1-x^2)[P_n'(x_i)^2]}$

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n	点的位置, xi	权重, wi
1	0	2
2	$\pm 1/\sqrt{3}$	1
3	0	8⁄9
	$\pm\sqrt{3/5}$	5⁄9
4	$\pm\sqrt{\Big( 3 - 2\sqrt{6/5} \Big)/7}$	$\tfrac{18+\sqrt{30}}{36}$
	$\pm\sqrt{\Big( 3 + 2\sqrt{6/5} \Big)/7}$	$\tfrac{18-\sqrt{30}}{36}$
5	0	128⁄225
	$\pm\tfrac13\sqrt{5-2\sqrt{10/7}}$	$\tfrac{322+13\sqrt{70}}{900}$
	$\pm\tfrac13\sqrt{5+2\sqrt{10/7}}$	$\tfrac{322-13\sqrt{70}}{900}$

变区间法则

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间$[a, b]$变换到$[-1, 1]$，规则如下。

$\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x + \frac{a+b}{2}\right)\,dx$

近似式为

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$

其他形式

对于如下的通用积分式来说，

$\int_b^a w(x) f(x) dx$

当$a = -1$，$b = 1$，$w(x)=1$时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。

区间	ω(x)	正交多项式
[−1, 1]	$1\,$	勒让德多项式
(−1, 1)	$(1-x)^\alpha (1+x)^\beta,\quad \alpha, \beta > -1\,$	雅可比多项式
(−1, 1)	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1]	$\sqrt{1 - x^2}$	切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)	$e^{-x}\,$	拉盖尔多项式
(−∞, ∞)	$e^{-x^2}$	埃尔米特多项式