高斯求积

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以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。当我们要求解某个函数的积分\int_{-1}^{1}f(x) dx ,其数值解可以由\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)近似,其中w_i, i = 1 ... n为权重。高斯求积仅仅当函数f(x)可以由在区间[-1, 1]的多项式近似时才能获得准确的近似解,这种方法并不适合函数具有奇异点的情况。于是乎,我们可以把函数f(x)写作f(x) = W(x)g(x),其中g(x)是近似多项式,W(x)是已知的权重函数,这样我们就有


\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 W(x)g(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i' g(x_i)

常用的权重函数有


W(x) = (1 - x^2)^{-1/2}
(高斯切比雪夫)

以及


W(x) = e^{-x^2}
(高斯埃米特)。

高斯勒让得求积[编辑]

对于上述的最简单的积分形式,即权重函数W(x)=1时,关联多项式为勒让得多项式P_n(x),这种方法通常称为高斯勒让德求积,此时权重函数为下式。


w_i = \frac{2}{(1-x^2)[P_n'(x_i)^2]}

对于求解低阶积分,选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n 点的位置, xi 权重, wi
1 0 2
2 \pm 1/\sqrt{3} 1
3 0 89
\pm\sqrt{3/5} 59
4 \pm\tfrac{\sqrt{ 525 - 70\sqrt{30}}}{35} \tfrac{18+\sqrt{30}}{36}
\pm\tfrac{\sqrt{ 525 + 70\sqrt{30}}}{35} \tfrac{18-\sqrt{30}}{36}
5 0 128225
\pm\tfrac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{21} \tfrac{322+13\sqrt{70}}{900}
\pm\tfrac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{21} \tfrac{322-13\sqrt{70}}{900}

变区间法则[编辑]

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间[a, b]变换到[-1, 1],规则如下。


\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^1 f\left(\frac{b-a}{2}x 
+ \frac{a+b}{2}\right)\,dx

近似式为


\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)

其他形式[编辑]

对于如下的通用积分式来说,


\int_b^a w(x) f(x) dx

a = -1b = 1w(x)=1时,即为上述内容。我们还可以用别的积分规则,如下表所示。

区间 ω(x) 正交多项式
[−1, 1] 1\, 勒让德多项式
(−1, 1) (1-x)^\alpha (1+x)^\beta,\quad \alpha, \beta > -1\, 雅可比多项式
(−1, 1) \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1] \sqrt{1 - x^2} 切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)  e^{-x}\, 拉盖尔多项式
(−∞, ∞)  e^{-x^2} 埃尔米特多项式