高斯-马尔可夫定理

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统计学中,高斯-马尔可夫定理陈述的是:在误差零均值,同方差,且互不相关线性回归模型中,回归系数的最佳线性无偏估计(BLUE)就是最小方差估计。一般而言,任何回归系数的线性组合之BLUE就是它的最小方差估计。在这个线性回归模型中,其误差不需要假定为正态分布独立同分布(iid)(而仅需要满足不相关同方差这两个稍弱的条件)。

具体而言,假设

Y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+\varepsilon_i; \quad i = 1, \dots n.

其中β0和β1是非随机且未观测到的参数,xi 是观测到的变量,εi是随机误差,Yi是随机变量(x小写:因x非為随机变量,Y大写:因Y為随机变量)。

高斯-马尔可夫定理的条件是:

  • {\rm E}\left(\varepsilon_i\right)=0,
  • {\rm var}\left(\varepsilon_i\right)=\sigma^2<\infty,
  • {\rm cov}\left(\varepsilon_i,\varepsilon_j\right)=0i\not=j,也就是“不相关性”。

βi线性无偏估计指的是E{x'e}=o使得E{b}=β

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