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高斯-勒让德算法

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高斯-勒让德算法是一种用于计算π算法。它以迅速收敛著称,只需25次迭代即可产生π的4500万位正确数字。不过,它的缺点是内存密集,因此有时它不如梅钦类公式使用广泛。

该方法基于卡尔·弗里德里希·高斯(1777–1855)和阿德里安-马里·勒让德(1752–1833)的个人成果与乘法和平方根运算的现代算法的结合。该算法反复替换两个数值的算术平均数几何平均数,以接近它们的算术-几何平均数

下文的版本也被称为高斯-欧拉,布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)算法[1];它于1975年被理查德·布伦特尤金·萨拉明独立发现。日本筑波大学于2009年8月17日宣布利用此算法计算出π小数点后2,576,980,370,000位数字,计算结果用波温算法检验。[2]

知名的电脑性能测试程序Super PI也使用此算法。

算法[编辑]

  1. 设置初始值:
    a_0 = 1\qquad b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad t_0 = \frac{1}{4}\qquad p_0 = 1.\!
  2. 反复执行以下步骤直到a_n\!b_n\!之间的误差到达所需精度:
     \begin{align}
                      a_{n+1} & = \frac{a_n + b_n}{2}, \\
                      b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n}, \\
                      t_{n+1} & = t_n - p_n(a_n - a_{n+1})^2, \\
                      p_{n+1} & = 2p_n. 
        \end{align}
  3. 则π的近似值为:
    \pi \approx \frac{(a_{n+1}+b_{n+1})^2}{4t_{n+1}}.\!

下面给出前三个迭代结果(近似值精确到第一个错误的位数):

3.140\dots\!
3.14159264\dots\!
3.1415926535897932382\dots\!

该算法具有二阶收敛性,本质上说就是算法每执行一步正确位数就会加倍。

数学背景[编辑]

算术-几何平均数的极限[编辑]

a0和b0两个数的算术-几何平均数,是通过计算它们的序列极限得到的:

\begin{align} a_{n+1} & = \frac{a_n+b_n}{2}, \\
                     b_{n+1} & = \sqrt{a_n b_n},
       \end{align}

两者汇聚于同一极限。
a_0=1\!b_0=\cos\varphi\!,则极限为{\pi \over 2K(\sin\varphi)}\!,其中K(k)\!第一类完全椭圆积分

K(k) = \int_0^{\pi \over 2} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}.\!

c_0 = \sin\varphi\!c_{i+1} = a_i - a_{i+1}\!,则

\sum_{i=0}^\infty 2^{i-1} c_i^2 = 1 - {E(\sin\varphi)\over K(\sin\varphi)}\!

其中E(k)\!第二类完全椭圆积分

E(k) = \int_0^{\pi \over 2}\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta.\!

高斯知道以上这两个结果。[3] [4] [5]

勒让德恒等式[编辑]

对于满足\varphi+\theta={1 \over 2}\pi\!\varphi\!\theta\!,勒让德证明了以下恒等式:

K(\sin \varphi) E(\sin \theta ) + K(\sin \theta ) E(\sin \varphi) - K(\sin \varphi) K(\sin \theta) = {1 \over 2}\pi\!.[3]

高斯-欧拉法[编辑]

\varphi=\theta={\pi\over 4}\!的值可以代入勒让德恒等式,且K、E的近似值可通过a_0=1\!b_0=\sin{\pi \over 4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\!的算术-几何平均数的序列项得到。[6]

参考文献[编辑]

  1. ^ Brent, Richard, Old and New Algorithms for pi, Letters to the Editor, Notices of the AMS 60(1), p. 7
  2. ^ 円周率計算桁数世界記録樹立について
  3. ^ 3.0 3.1 Brent, Richard, Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation, (编) Traub, J F, Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press), 1975: 151–176 [8 September 2007] 
  4. ^ Salamin, Eugene, Computation of pi, Charles Stark Draper Laboratory ISS memo 74–19, 30 January, 1974, Cambridge, Massachusetts
  5. ^ Salamin, Eugene, Computation of pi Using Arithmetic-Geometric Mean, Mathematics of Computation, 1976, 30 (135): 565–570, ISSN 0025-5718 
  6. ^ Adlaj, Semjon, An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS 59(8), p. 1096