高斯-博内定理

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适用高斯-博内定理的复杂区域的一个例子。标示了测地曲率。

微分几何中,高斯-博内定理(亦称高斯-博内公式)是关于曲面的图形(由曲率表征)和拓扑(由欧拉示性数表征)间联系的一项重要表述。它是以卡尔·弗里德里希·高斯皮埃尔·奥西安·博内命名的,前者发现了定理的一个版本但从未发表,后者1848年发表了该定理的一个特例。

定理内容[编辑]

M是一个紧的二维黎曼流形\partial M是其边界。令KM高斯曲率k_g\partial M测地曲率。则有

\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \,

其中dA是该曲面的面积元,dsM边界的线元。此处\chi(M)M欧拉示性数

如果\partial M的边界是分段光滑的,我们将\int_{\partial M}k_g\;ds视作光滑部分相应的积分之和,加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

一般化的高斯-博內定理[编辑]

廣義高斯-博內定理(generalized Gauss–Bonnet theorem)成立於偶數維數的閉黎曼流形。在偶數維數的閉黎曼流形,歐拉示性數仍然可以表達爲曲率多項式的積分。

公式:

\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\

這是對於高維空間的直接推廣。

例如在四維空間:

\chi(M)=\frac{1}{32\pi^2}\int_M\left(|Rm|^2-4|Rc|^2+R^2\right)d\mu

外部链接[编辑]