高等数学

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高等数学英语higher mathematics),简称高数,是相对于初等数学而言,数学的对象及方法较为复杂的一部分[1]

基础学科名称[编辑]

初等数学:包括小学的算术,中学的代数平面几何立体几何平面三角等。

高等数学是比初等数学更“高等”的数学。广义地说,初等数学之外的数学都是高等数学。也有将中学里较深入的代数几何以及集合论初步、逻辑初步统称为中等数学的,将其作为小学、初中的初等数学与本科阶段的高等数学之间的过渡。通常认为,高等数学的主要内容包括:极限理论、一元微积分学、多元微积分学、空间解析几何与向量代数、级数理论、常微分方程初步。在高等数学的教材中,以微积分学级数理论为主体,其他方面的内容为辅,各类课本略有差异。

在中国大陆,理工科各类专业的学生(数学专业除外,数学专业学数学分析),学的深一些,课本常称“高等数学”,多数院校使用课本为同济大学数学系所编的《高等数学》;文史科各类专业的学生,学的浅一些,课本常称“微积分”。理工科的不同专业,文史科的不同专业,深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学,可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有:线性代数(数学专业学高等代数),概率论数理统计(有些数学专业分开学)。

高等数学是高等学校理工科本科有关专业学生的一门必修的重要基础课。通过这门课程的学习,使学生获得向量代数与空间解析几何、微积分的基本知识,必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生的运算能力和初步的抽象思维、逻辑推理及空间想象能力,从而使学生获得解决实际问题能力的初步训练,为学习后继课程奠定必要的数学基础。

综述[编辑]

一般认为,16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴,因而,17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。由此可见,高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。

19世纪以前确立的几何代数分析三大数学分支中,前两个都原是初等数学的分支,其后又发展了属于高等数学的部分,而只有分析从一开始就属于高等数学。分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始,因此,研究变量是高等数学的特征之一。原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象,现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。如数学分析中研究的限于实变量,而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和向量张量形式的,以及各种几何量、代数量,还有取值具有偶然性的随机变量、模糊变量和变化的(概率)空间——范畴和随机过程。描述变量间依赖关系的概念由函数发展到泛函变换以至于函子。与初等数学一样,高等数学也研究空间形式,只不过它具有更高层次的抽象性,并反映变化的特征,或者说是在变化中研究它。例如,曲线曲面的概念已发展成一般的流形。按照埃尔朗根纲领,几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论,这也就是说,几何是将各种空间形式置于变换之下来来研究的。

无穷进入数学,这是高等数学的又一特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现,无穷是对他们的共同本质的一种概括。所以,无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。数学中的无穷以潜无穷实无穷两种形式出现。在极限过程中,变量的变化是无止境的,属于潜无穷的形式。而极限值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是数列函数的极限。数学分析以它为基础,建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论,初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。另外一些形式上更为抽象的极限过程,在别的数学学科中也都起着基本的作用。还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体,也就说是无穷集合,例如之类及各种抽象空间。这是数学中的实无穷。能够处理这类无穷集合,是数学水平与能力提高的表现。为了处理这类无穷集合,数学中引进了各种结构,如代数结构序结构拓扑结构(参见“数学”)。另外还有一种度量结构,如抽象空间中的范数距离测度等,它使得个体之间的关系定量化、数字化,成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵,能够彼此区分,而变得异彩纷呈,并由此形成了众多的数学学科。

数学的计算性方面。在初等数学中甚至占了主导的地位。它在高等数学中的地位也是明显的,高等数学除了有很多理论性很强的学科之外,也有一大批计算性很强的学科,如微分方程计算数学统计学等。在高度抽象的理论装备下,这些学科才有可能处理现代科学技术中的复杂计算问题。

除了数学基础集合论数理逻辑这样一些基础性学科之外,数学分为初等数学与高等数学两大部分。它们有共同的基础,而彼此之间并没有严格的界限。它们都是人类文明在不同发展阶段的产物,但并不像某些事物那样,后发展起来的可以代替古老的,随着人类文明的进步,数学中某些局部的、繁琐的成果或工作可能被淘汰,而其总体仍然是有用的,并必将向着更加综合和抽象、结构更多样化的方向发展下去。[1]

近现代经典文献[编辑]

  • 《微积分学教程》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
  • 《吉米多维奇数学分析习题集》鲍里斯.帕夫罗维奇.吉米多维奇著
  • 《微积分和数学分析引论》Richard Courant(柯朗)著
  • 《高等数学教程》斯米尔诺夫著 1-5卷 高等教育出版社
  • 《古今数学思想》M.克莱因著 1-4册 上海科学技术出版社
  • 《高等数学例题与习题集.一,一元微积分》И.И.利亚什科等编著
  • 《高等数学例题与习题集.二,多元微积分》И.И.利亚什科等编著
  • 《高等数学引论》(共四卷) 华罗庚著 科学出版社
  • 《微积分五讲》龚昇著
  • 《重温微积分》齐民友著
  • 《高等数学》第6版 上下册 同济大学应用数学系 高等数学出版社 ISBN 978-7-04-021277-8
  • 《高等数学》吴赣昌著 高等教育出版社

参考文献[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 出自《数学辞海(第一卷)》

书籍[编辑]

  • 《数学辞海(第一卷)》山西教育出版社 中国科学技术出版社 东南大学出版社
  • (俄文)《高等数学教程》斯米尔诺夫著 1-5卷 高等教育出版社
  • (英文)《古今数学思想》M.克莱因著 1-4册 上海科学技术出版社
  • (中文)《高等数学》同济大学应用数学系 第6版 上下册 高等数学出版社 ISBN 978-7-04-021277-8

外部链接[编辑]

参见[编辑]