高過剩數

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高過剩數highly abundant number)是指一正整數.其除數函數(含本身的所有因數和)大於所有較小正整數的除數函數。

高過剩數及一些有類似特性的整數最早是由皮萊英语Subbayya Sivasankaranarayana Pillai在1943年提出的[1]萊昂尼達斯·Alaoglu英语Alaoglu保羅·艾狄胥進行了一些相關的研究.列出了所有小於104的高過剩數,並證明小於整數N的高過剩數個數至少和log2 N成正比。他們也證明了7200是高過剩數中最大的冪數,也是其有奇數個因數的最大高過剩數[2]

定義及舉例[编辑]

自然數n為高過剩數,若且唯若對於所有小於n的自然數m,下式恆成立:

\sigma(n) > \sigma(m)

其中σ為除數函數

頭幾個高過剩數為:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 42, 48, 60, ... (OEIS中的数列A002093).

以5為例,σ(5) = 5+1 = 6小於σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7,因此5不是高過剩數,而σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15大於所有較小正整數的除數函數,因此8是高過剩數。

和其他整數的關係[编辑]

雖然前8個階乘的結果都是高過剩數,不過不是所有階乘的結果均為高過剩數

σ(9!) = σ(362880) = 1481040,

但有數字較9!小,而除數函數比σ(9!)大

σ(360360) = 1572480,

因此9!不是高過剩數。

Alaoglu及保羅·艾狄胥發現所有的超過剩數都是高過剩數,因此提出一個問題:是否存在著無限多個不是超過剩數的高過剩數。數學家尼可拉斯在1969年證實了上述的問題[3]

高過剩數和過剩數名稱中都有「過剩數」一詞,其中也有一些數字重覆,但不是所有的高過剩數都是過剩數,前7個高過剩數都不是過剩數,也不是所有的過剩數都是高過剩數,例如數字40為過剩數,不是高過剩數。

參考資料[编辑]

  1. ^ Pillai, S. S. Highly abundant numbers. Bull. Calcutta Math. Soc. 1943, 35: 141–156. MR 0010560. 
  2. ^ Alaoglu, L.; Erdős, P. On highly composite and similar numbers. Transactions of the American Mathematical Society. 1944, 56 (3): 448–469. doi:10.2307/1990319. JSTOR 1990319. MR 0011087. 
  3. ^ *Nicolas, Jean-Louis. Ordre maximal d'un élément du groupe Sn des permutations et "highly composite numbers". Bull. Soc. Math. France. 1969, 97: 129–191. MR 0254130.