魏尔斯特拉斯逼近定理

基本定理 [编辑]

魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：

闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
闭区间上周期为 $2\pi$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

证明 [编辑]

第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
第二逼近定理的证明；

设f(t)为周期为 $2\pi$ 的连续函数，定义 $f_a(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n a^{\left| n\right|} e^{int}$ 为一三角级数。

- 首先证明 $\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}$ ，为一个正交函数系：

$\langle e^{int},e^{imt} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} e^{i(n-m)t}\, dt = 0$

$\langle e^{int},e^{int} \rangle = ||e^{int}||^2 = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi}\left|e^{int}\right|^2\, dt = 1$ (因为 $\left| e^{int}\right| = 1$ )。故令 $f(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$ ，于是我们可以求出 $c_n = \langle f(t),e^{int} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} f(t) e^{-int}\, dt$ 。将 $c_n$ 代入 $f_a(t)$ 的定义式中，有：

$f_a(t)= \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} (\sum _{n=-\infty}^{+\infty} a^{\left| n\right|} e^{in(t-s)})f(s)\, ds$ 。

下面对积分号中的和式S求和，令 $w = a^{\left| n\right|}e^{in(t-s)}$ ，那么就有： $S=......+\bar{w}^2+\bar{w}+1+w+w^2+.....$ ，分成正负两部分求和，可知:

$S = W + \bar{W} = 2Re\{W\} = \frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}$ 带回原积分，有 $f_a(t) = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}f(s) \, ds$ ，这就是f(s)的泊松积分。其中 $p_a(\theta) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(\theta)+ a^2}$ 称为泊松核。故有：