魏尔斯特拉斯逼近定理

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基本定理[编辑]

魏尔斯特拉斯逼近定理有两个:

证明[编辑]

  • 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
  • 第二逼近定理的证明;

设f(t)为周期为2\pi的连续函数,定义f_a(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n a^{\left| n\right|} e^{int}为一三角级数。

    • 首先证明\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty}^{+\infty},为一个正交函数系:

\langle e^{int},e^{imt} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} e^{i(n-m)t}\, dt = 0

\langle e^{int},e^{int} \rangle = ||e^{int}||^2 = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi}\left|e^{int}\right|^2\, dt = 1 (因为\left| e^{int}\right| = 1)。 故令f(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int},于是我们可以求出c_n = \langle f(t),e^{int} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} f(t) e^{-int}\, dt 。 将c_n代入 f_a(t) 的定义式中,有:

f_a(t)= \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} (\sum _{n=-\infty}^{+\infty} a^{\left| n\right|} e^{in(t-s)})f(s)\, ds

下面对积分号中的和式S求和,令w = a^{\left| n\right|}e^{in(t-s)},那么就有:S=......+\bar{w}^2+\bar{w}+1+w+w^2+.....,分成正负两部分求和,可知:

S = W + \bar{W} = 2Re\{W\} = \frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2} 带回原积分,有f_a(t) = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}f(s) \, ds,这就是f(s)的泊松积分。其中p_a(\theta) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(\theta)+ a^2} 称为泊松核。故有:

f_a(t)=\int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)f(t-x)\,dx

我们要检验的的是\left|f_a(t)-f(t)\right|a\to 1时的情况,可以证明:

\left|f_a(t)-f(t)\right|< \int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx

由f(t)的一致连续性,可以证明,上式在r\to 1时,满足一致收敛的条件,故我们可以用f_r(t)来一致逼近f(t)。

参阅[编辑]