黄金矩形

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黄金矩形是一个长和宽的比為黄金分割 \varphi 的矩形。

\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.6180339887...

很多国家的国旗都是黄金矩形。

特性[编辑]

在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形,矩形剩下的部份是一個較小的黄金矩形,說明如下:

Golden rectangles.png

假設一黄金矩形的短邊為  b ,長邊為  a= \varphi b
若在黄金矩形中以短邊為邊長劃一正方形,則長邊剩下的長度為

 a - b = (\varphi - 1)b = (\frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1)b = (\frac{\sqrt{5} - 1}{2})b = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} b = \frac{1}{\varphi} b

a /b和 b/a-b 的比值均為 \varphi,因此所組成的矩形仍為一黄金矩形。

繪製[编辑]

一個黃金矩形的畫法

黃金矩形可以尺規作圖來繪製

  1. 繪製一個正方形
  2. 以方型任一邊的中點為圓心,到對角長(即切割出來的長方形的對角線)為半徑畫弧
  3. 把該邊延長,通過上個步驟所畫的弧,即完成黃金矩形的長邊
  4. 完成剩餘部分

原理[编辑]

因為黃金比例等於

\frac{ 1 + \sqrt{5}}{2} : 1

同乘2等於

1 + \sqrt{5} : 2

將正方形的一邊看作2
由中點到對角長的長度即是\sqrt{5}(由勾股定理求出),故所求出的長邊即是1 + \sqrt{5}

参看[编辑]