黄金进制

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底数区分的进位制系统
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黄金进制英语Golden ratio base)是使用黄金比φ作为底数的进位制,其中 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803399... 是一个无理数。在英语中,黄金进制也叫做base-φgolden mean basephi-basephinary。在黄金进制下,任何非负整数都约定使用0和1表示,并且不连续使用两个1,这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11,就一定可以根据黄金比φ的性质 φ+1=φ2 表示成标准形。例如,11φ = 100φ

虽然黄金进制使用无理数作为基底,任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的,但和十进制一样,整数和有限小数都可以写成无限小数的形式,如十进制中的 1 = 0.99999…

举例[编辑]

十进制数 用φ的表示 φ进制数
1 φ0 1     
2 φ1 + φ−2 10.01  
3 φ2 + φ−2 100.01  
4 φ2 + φ0 + φ−2 101.01  
5 φ3 + φ−1 + φ−4 1000.1001
6 φ3 + φ1 + φ−4 1010.0001
7 φ4 + φ−4 10000.0001
8 φ4 + φ0 + φ−4 10001.0001
9 φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4 10010.0101
10 φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4 10100.0101

转化到标准形[编辑]

211.01φ是φ进制数,但并非标准形,因为它含有“11”和“2”,以及1=-1。我们可以根据以下公式将它转化到标准形:

  • 011φ = 100φ
  • 0200φ = 1001φ
  • 010φ = 101φ

公式的代换过程对结果没有影响。具体过程如下:

  211.01φ
  300.01φ     011φ → 100φ
 1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ (again)
10001.101φ    010φ101φ
10000.011φ    010φ101φ (again)
10000.1φ      011φ → 100φ (again)

任意非标准形正数都可以唯一地标准化。这样处理之后如果第一位是负数,此时需要将每一位数都变成相反数,重新标准化并加上负号。例如:

101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ

整数的黄金进制表示[编辑]

通常所说的整数在黄金进制下是有限小数。例如,整数5转化成黄金进制的过程如下所示:

  1. 5以下φ的最高次冪是 φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236;
  2. 与5求差为5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763;
  3. 0.763以下最大的φ的冪是 φ-1 = -1 + 1φ ≈ 0.618;
  4. 再次求差,4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145
  5. 0.145以下最大的φ的冪是 φ-4 = 5 - 3φ ≈ 0.145;
  6. 再次求差得到0
  7. 于是: 5 = φ3 + φ-1 + φ-4

5用φ进制表示就是1000.1001φ

这里其实利用了以下事实:凡φ的冪都可以用整数ab表示成 a + b φ 的形式。因为 φ2 = φ + 1 、φ-1 = -1 + φ 。如此一来,数之间比大小就容易了。实际上,a + bφ > c + dφ 和 2(ac) - (db) > (db) × √5 等价。只需将 φ = (1+√5)/2 代入,稍作处理就可得到这一结果。

黄金进制下的有限小数不全是整数,还包括\mathbb{Z}[\phi]:= \{ a+b\phi \mid a,b \in \mathbb{Z} \}元素

数的表示不唯一[编辑]

和其他进位制相同,黄金进制中也可以用多种形式表示同一个数。就像10进制中0.999...=1,φ进制中0.1010101…φ=1。

  • 使用非标准形变换:1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
  • 使用等比級数展开:1.0101010…φ 等于
    \sum_{k=0}^\infty \phi^{-2k}=\frac{1}{1-\phi^{-2}} = \phi
  • 错项相减:φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ 所以 x = φ/(φ2 - 1) = 1

这种不唯一是进位制的特征,1.0000和0.101010…都是标准形。一般地,φ进位制中数最后的1用01循环代替即可得到另一标准形。

有理数的黄金进制表示[编辑]

在黄金进制中,可以用有限小数或者循环小数表示任意非负有理数,以及从有理数√5生成的Q[√5]中的非负元素。其中

\mathbb{Q}(\phi)=\mathbb{Q}(\sqrt{5}):= \{ a+b\sqrt{5} \mid a,b \in \mathbb{Q} \}

相反地,黄金进制中的有限/循环小数都是Q[√5] 中的非负元素。例如:

  • 1/2 ≈ 0.010 010 010 010 ... φ
  • 1/3 ≈ 0.00101000 00101000 00101000... φ
  • √5 = 10.1φ
  • 2+(1/13)√5 ≈ 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 ...φ

对这一点的证明与十进制中类似。在黄金进制下进行长除法。因为其余数的可能值是有限个,所以必定会出现循环。例如 1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ 进行长除法如下:

               .0 1 0 0 1
        ________________________
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1                        代换 10000 = 1100 = 1011
            _______                        于是 10000-1001 = 1011-1001 = 10
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  _______
                      etc.

反之,黄金进制中的循环小数都属于Q[√5]。因为循环部分形成了等比级数,对它求和即可得到Q[√5]的元素。

无理数的黄金进制表示[编辑]

常见无理数的黄金进制表示如下:

  • π ≈ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ...φ A102243
  • e ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ...φ A105165
  • √2 ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ...φ
  • φ = (1+√5)/2 = 10φ
  • √5 = 10.1φ

四则运算[编辑]

在黄金进制中可以和其它进制一样进行四则运算。加法、减法、乘法的计算方法如下:

加、减、乘[编辑]

先计算,后转化
即先对每一位按十进制数的方法计算,但不进行进位、借位,计算完再转化为标准形。例如:
2+3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
2×3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0101 = 1000.1001
避免0和1以外的数
更加自然的做法是将数转化为非标准形,以避免出现需要进位和借位的 1+1 或 0-1 。例如:
2+3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
7-2 = 10000.0001 - 10.01 = 1100.0001 - 10.01 = 1011.0001 - 10.01 = 1010.1101 - 10.01 = 1000.1001

除法[编辑]

除了整数以外,所有有理数都不能用有限位φ进制数表示。也就是说,黄金进制中能用有限小数表示的数只有整数或者Q[√5]中的无理数。两个整数相除得到有理数的情况已经在上文说明了。

斐波那契编码[编辑]

斐波那契编码是与黄金进制关系紧密的计数系统。它只用0和1表示数,每个数位的位值对应斐波那契数。和黄金进制一样,其标准形也不使用“11”。如:

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib.

参见[编辑]

外部链接[编辑]

参考资料[编辑]