黎曼曲率張量

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微分几何中,黎曼曲率张量黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式,更普遍的,它可以表示有仿射联络流形的曲率 ,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的,一个仿射联络)\nabla(或者叫协变导数)由下式给出:

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w -\nabla_{[u,v]} w .

这里R(u,v)是一个流形切空间的线性变换;它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果u=\partial/\partial x_iv=\partial/\partial x_j 是坐标向量场则[u,v]=0所以公式简化为

R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性

线性变换w\mapsto R(u,v)w也称曲率变换

對稱性和恆等式[编辑]

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

  •  R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,

映射R关于每一个自变量都是C^\infty线性的, 故 R M上的(1,3)型光滑张量场, 称之为纺射联络空间(M,\nabla)的曲率张量. 在坐标向量场下, R 可以表示为

  •  R=R_{kij}^l dx^k\otimes\frac{\partial}{\partial x^l}\otimes dx^i \otimes dx^j .

还可以定义四重线性映射,如下

  •  R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),

则映射 R关于每一个自变量都是C^\infty 线性的, 故 R 是黎曼流形 (M,g) 上的 (0,4) 型光滑张量场, 称之为黎曼流形  (M,g) 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下,  R 可以表示为

  •  R=R_{klij} dx^k\otimes dx^l\otimes dx^i \otimes dx^j .
  • 注:上述纺射联络空间 (M,\nabla)上的曲率张量  R 与黎曼流形  (M,g) 上的黎曼曲率张量  R 是同一个对象的不同表现形式.
  •  R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^m.

黎曼曲率张量有如下的对称性:

  • R(u,v)=-R(v,u)^{}_{}
  • \langle R(u,v)w,z \rangle=-\langle R(u,v)z,w \rangle^{}_{}
  • R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0 ^{}_{}

最后一个恒等式由里奇(Ricci)发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity),因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表,也就是给定说任何满足上述恒等式的张量,可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有n^2(n^2-1)/12个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

\langle R(u,v)w,z \rangle=\langle R(w,z)u,v \rangle^{}_{}

比安基恒等式(Bianchi identity),经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

\nabla_uR(v,w)+\nabla_vR(w,u)+\nabla_w R(u,v) = 0

给定流形某点的任一坐标表示,上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

  • R_{abcd}=-R_{bacd} \,
  • R_{abcd}=R_{cdab} \,
  • 第一(代數)比安基恒等式:R_{abcd} + R_{adbc} + R_{acdb} =0 \,或等價地寫為R_{a[bcd]}=0 \,
  • 第二(微分)比安基恒等式:\nabla_e R_{abcd} + \nabla_d R_{abec} + \nabla_c R_{abde} =0 \,或等價地寫為R_{ab[cd;e]}=0 \,

其中方括号表示对下标的反對稱化,分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用,特别是广义相对论

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