黎曼－斯蒂尔杰斯积分

黎曼－斯蒂尔杰斯积分(Riemann-Stieltjes integral)是一種積分，它是黎曼积分的一種推廣。

黎曼－斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。

定義

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定義仰賴對區間分割的定義。

区间的分割

一个闭区间$[a,b]$的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$。每个闭区间$[x_i, x_{i+1}]$叫做一个子区间。定义$\lambda$ 为这些子区间长度的最大值：$\lambda = \max (x_{i+1}-x_i)$，其中$0 \le i \le n - 1$。

再定义取样分割。一个闭区间$[a,b]$的一个取样分割是指在进行分割$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b$后，于每一个子区间中$[x_i, x_{i+1}]$取出一点 $x_i \le t_i \le x_{i+1}$。$\lambda$的定义同上。

精细化分割：设$x_0,\ldots,x_n$以及$t_0,\ldots,t_{n-1}$构成了闭区间$[a,b]$的一个取样分割，$y_0,\ldots,y_m$和$s_0,\ldots,s_{m-1}$是另一个分割。如果对于任意$0 \le i \le n$，都存在$r(i)$使得$x_i = y_{r(i)}$，并存在$r(i) \le j \le r(i+1)$使得$t_i = s_j$，那么就把分割：$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$称作分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。(即是說「設$P = \{ a = x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n = b \}$是閉區間$[a,b]$的一個分割，若分割$P'$是分割$P$的一個精細化分割，則$P \subseteq P'$，也就是說，分割$P$是分割$P'$的子集」)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼－斯蒂尔杰斯和

对一个在闭区间$[a,b]$有定义的实值函数$f$，$f$关于取样分割$x_0,\ldots,x_n$ 、$t_0,\ldots,t_{n-1}$的黎曼－斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：

$S(P,f,A) = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) (\Delta A_i)$

和式中的$\Delta A_i$表$A(x_i)-A(x_{i-1})$，故$\sum_{i=1}^{n} \Delta A_i = A(b) - A(a)$。

黎曼－斯蒂尔杰斯積分

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂尔杰斯积分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義

$I$是函数$f$在闭区间$[a,b]$上對函數$A$的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的$\epsilon > 0$，都存在$\delta > 0$，使得对于任意的取样分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，只要它的子区间长度最大值$\lambda \le \delta$ ，就有：

$\left| S(P,f,A) - I \right| < \epsilon.\,$

第二種定義

$I$是函数$f$在闭区间$[a,b]$上對函數$A$的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的$\epsilon > 0$，都存在一个取样分割$x_0,\ldots,x_n$、$t_0,\ldots,t_{n-1}$，使得对于任何比其“精细”的分割$y_0,\ldots,y_m$、$s_0,\ldots,s_{m-1}$，都有：

$\left| S(P,f,A) - I \right| < \epsilon.\,$

若一個函數$f$在闭区间$[a,b]$上對函數$A$的黎曼－斯蒂尔杰斯积分存在，且值為$I$，則可寫作$I = \int_{a}^{b} f(x)dA(x).$

與黎曼積分間的關聯

若A(x) = x時，$f$在闭区间$[a,b]$上對函數$A$的黎曼－斯蒂尔杰斯积分$\int_{a}^{b} f(x)dA(x).$即為$f$在闭区间$[a,b]$上的黎曼積分$\int_{a}^{b} f(x)dx.$，故從黎曼－斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼積分。

若$A(x)$可微且其對$x$微分後的函數$A'(x)$在闭区间$[a,b]$連續，則$f$在闭区间$[a,b]$上對函數$A$的黎曼－斯蒂尔杰斯积分$\int_{a}^{b} f(x)dA(x).$與黎曼積分$\int_{a}^{b} f(x) A'(x) dx.$相等

參考文獻

• Mathematical Analysis seond edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

參見

• 黎曼积分
• 有界變差