黎曼-斯蒂尔杰斯积分

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

黎曼-斯蒂尔杰斯积分(Riemann-Stieltjes integral)是一種積分,它是黎曼积分的一種推廣。

黎曼-斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式,但不是每種定義方式都是彼此等價的。

定義[编辑]

和黎曼積分一樣,黎曼-斯蒂尔杰斯积分的定義仰賴對區間分割的定義。

区间的分割[编辑]

一个闭区间[a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b。每个闭区间[x_i, x_{i+1}]叫做一个子区间。定义\lambda 为这些子区间长度的最大值:\lambda = \max (x_{i+1}-x_i),其中0 \le i \le n - 1

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割P=\{ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}后,于每一个子区间中[x_i, x_{i+1}]取出一点 x_i \le t_i \le x_{i+1}\lambda 的定义同上。

精细化分割:设x_0,\ldots,x_n以及t_0,\ldots,t_{n-1}构成了闭区间[a,b]的一个取样分割,y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}是另一个分割。如果对于任意0 \le i \le n,都存在r(i)使得x_i = y_{r(i)},并存在r(i) \le j \le r(i+1)使得t_i = s_j,那么就把分割:y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1}称作分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。(即是說「設P = \{ a = x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n = b \}是閉區間[a,b]的一個分割,若分割P'是分割P的一個精細化分割,則P \subseteq P',也就是說,分割P是分割P'的子集」)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

黎曼-斯蒂尔杰斯和[编辑]

对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数fg关于取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1}黎曼-斯蒂尔杰斯和定义为以下和式:

S(P,f,g) = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) (\Delta g_i)

和式中的\Delta g_ig(x_i)-g(x_{i-1}),故\sum_{i=1}^{n} \Delta g_i = g(b) - g(a)

黎曼-斯蒂尔杰斯積分[编辑]

當注意的是。這兩個定義在黎曼-斯蒂尔杰斯积分的情況下,並不完全等價,以第一種定義可推出其存在的積分,必能以第二種定義推出其存在,但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義[编辑]

A是函数f在闭区间[a,b]上對函數g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,当且仅当对于任意的\epsilon > 0,都存在\delta > 0,使得对于任意的取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},只要它的子区间长度最大值\lambda \le \delta ,就有:

\left| S(P,f,g) - A \right| < \epsilon.\,

第二種定義[编辑]

A是函数f在闭区间[a,b]上對函數g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,当且仅当对于任意的\epsilon > 0,都存在一个取样分割x_0,\ldots,x_nt_0,\ldots,t_{n-1},使得对于任何比其“精细”的分割y_0,\ldots,y_ms_0,\ldots,s_{m-1},都有:

\left| S(P,f,g) - A \right| < \epsilon.\,

若一個函數f在闭区间[a,b]上對函數g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分存在,且值為A,則可寫作A = \int_{a}^{b} f(x)dg(x).

黎曼積分間的關聯[编辑]

若g(x) = x時,f在闭区间[a,b]上對函數g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分\int_{a}^{b} f(x)dg(x). 即為f在闭区间[a,b]上的黎曼積分\int_{a}^{b} f(x)dx. ,故從黎曼-斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼積分。

g(x)可微且其對x微分後的函數g'(x)在闭区间[a,b]連續,則f在闭区间[a,b]上對函數g的黎曼-斯蒂尔杰斯积分\int_{a}^{b} f(x)dg(x). 與黎曼積分\int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx. 相等

參考文獻[编辑]

  • Mathematical Analysis seond edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

參見[编辑]