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黎納-維謝勢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」;源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。
艾密·維謝

電動力學裏,黎納-維謝勢指的是移動中的帶電粒子推遲勢。從馬克士威方程組,可以推導出黎納-維謝勢;而從黎納-維謝勢,又可以推導出一個移動中的帶電粒子所生成的含時電磁場。但是,黎納-維謝勢不能描述微觀系統的量子行為

阿弗雷-瑪麗·黎納英语Alfred-Marie Liénard 於 1898 年,艾密·維謝英语Emil Wiechert於1900年,分別獨立地研究求得黎納-維謝勢的公式[1][2]。於 1995 年, Ribarič 和 Šušteršič 正確計算出移動中的偶極子四極子英语quadrupole的推遲勢[3]

歷史重要性[编辑]

經典電動力學的研究,關鍵地助導阿爾伯特·愛因斯坦發展出相對論。愛因斯坦細心地分析黎納-維謝勢和電磁波傳播,所累積的心得,引領他想出在狹義相對論裏對於時間和空間的概念。經典電動力學表述是一個重要的發射台,使得物理學家能夠飛航至更複雜的相對論性粒子運動的學術領域。

雖然經典電動力學表述的黎納-維謝勢,可以很準確地描述,獨立移動中的帶電粒子的物理行為,但是在原子層次,這表述遭到嚴峻的考驗,無法給出正確地答案。為此緣故,物理學家感到異常困惑,因而引發了量子力學的創立

對於粒子發射電磁輻射的能力,量子力學又添加了許多新限制。經典電動力學表述,表達於黎納-維謝勢的方程式,明顯地違背了實驗觀測到的現象。例如,經典電動力學表述所預測的,環繞著原子不停運動的電子,由於連續不斷地呈加速度狀態,應該會不停地發射電磁輻射;但是,實際實驗觀測到的現象是,穩定的原子不會發射任何電磁輻射。經過日以繼夜,廢寢忘食的研究論證,物理學家發現,電磁輻射的發射完全是由電子軌域的離散能級躍遷所控制(參閱波耳原子)。在二十世紀後期,經過多年的改進與突破,量子電動力學成功地解釋了帶電粒子的放射行為。

物理理論[编辑]

帶電粒子的移動軌道。

假設,從源頭位置 \mathbf{r}'\,\! 往檢驗位置 \mathbf{r}\,\! 發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間 t\,\! 抵達觀測者的檢驗位置 \mathbf{r}\,\! ,則這束電磁波發射的時間是推遲時間 t_r\,\! 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 t\,\! ,會不同於這電磁波發射的推遲時間 t_r\,\!推遲時間 t_r\,\! 定義為檢驗時間 t\,\! 減去電磁波傳播的時間:

t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}\,\!

其中,c\,\!光速

推遲時間的概念意味著電磁波的傳播不是瞬時的。電磁波從發射位置傳播到終點位置,需要一段傳播期間,稱為時間延遲。與日常生活的速度來比,電磁波傳播的速度相當快。因此,對於小尺寸系統,這時間延遲,通常很難察覺。例如,從開啟電燈泡到這電燈泡的光波抵達到觀測者的雙眼,所經過的時間延遲,只有幾兆分之一秒。但是,對於大尺寸系統,像太陽照射陽光到地球,時間延遲大約為 8 分鐘,可以經過實驗偵測察覺。

表達方程式[编辑]

假設,一個移動中的帶電粒子 ,所帶電荷為 q\,\! ,隨著時間 t\,\! 而改變的運動軌道為 \mathbf{w}(t)\,\!。設定向量 \boldsymbol{\mathfrak{R}}\,\! 為從帶電粒子位置 \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t)\,\! 到檢驗位置 \mathbf{r}\,\! 的分離向量:

\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'=\mathbf{r} - \mathbf{w}(t)\,\!

則黎納-維謝純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\! 和黎納-維謝向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\! 分別以方程式表達為

\Phi(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!
\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) =\frac{\mathbf{v}}{c^2}\Phi(\mathbf{r},\,t)
\,\!

其中,\epsilon_0\,\!真空電容率\mathbf{v}\,\! 是帶電粒子的移動速度, \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{w}}{dt}\,\!

雖然黎納-維謝純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\! 和黎納-維謝向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\! 的時間參數是 t\,\! ,方程式右手邊的幾個變數,帶電粒子位置 \mathbf{r}'\,\! 和速度 \mathbf{v}\,\! 都是採推遲時間 t_r\,\! 時的數值:

\mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\!
\mathbf{v}=\mathbf{v}(t_r)\,\!

推導[编辑]

推遲勢,可以推導出黎納-維謝勢。推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\!推遲向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\,\! 分別以方程式定義為(參閱推遲勢

\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!
\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\   \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!

其中,\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\,\! 是電荷密度,\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)\,\! 是電流密度,\mathcal{V}'\,\! 是積分的體空間,d^3\mathbf{r}'\,\! 是微小體元素,\mathfrak{R}\,\! 向量還是採推遲時間  t_r\,\! 時的數值。

帶電粒子運動軌道的電荷密度可以用狄拉克δ函數表達為

\rho(\mathbf{r},\,t)=q\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\!

其中,\delta(\mathbf{r} - \mathbf{w}(t))\,\! 是狄拉克δ函數。

代入推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\! 的方程式,

\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathcal{V}'} \frac{\delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}'\,\!

由於狄拉克δ函數 \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\,\! 的積分會從 \mathbf{r}'\,\! 的可能值中,挑選出當 \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\! 時,所有變數的數值。所以,在積分內的變數,都可以被提出積分,採推遲時間 \mathbf{r}'=\mathbf{w}(t_r)\,\! 時所計算出的數值。積分內,只剩下狄拉克δ函數等待進一步處理:

\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r))\, d^3\mathbf{r}'\,\!

由於推遲時間 t_r\,\! 跟三個變數 t\,\!\mathbf{r}\,\!\mathbf{r}'\,\! 有關,這積分比較難計算,需要使用換元積分法[4]。設定變數 \boldsymbol{\eta}=\mathbf{r}' - \mathbf{w}(t_r)\,\! 。那麼,其雅可比行列式 \mathfrak{J}\,\!

\mathfrak{J}=\cfrac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial \mathbf{r}'}
=\begin{vmatrix}
  \cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_x}{\partial z'} \\
  \cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_y}{\partial z'} \\
  \cfrac{\partial \eta_z}{\partial x'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial y'} & \cfrac{\partial \eta_z}{\partial z'} \\
\end{vmatrix}\,\!

行列式內分量很容易計算,例如:

\cfrac{\partial \eta_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial x'}=1 - \cfrac{\partial w_x}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=1 - v_x\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!
\cfrac{\partial \eta_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial x'}=\cfrac{\partial w_y}{\partial t_r}\ \cfrac{\partial t_r}{\partial x'}=v_y\cfrac{\partial t_r}{\partial x'}\,\!

按照上述方法,經過一番計算,可以得到

\mathfrak{J}=1 - \mathbf{v}\cdot\nabla' t_r= 1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c\,\!

所以,推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)\,\! 的方程式變為

\Phi(\mathbf{r},\,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \delta(\boldsymbol{\eta})\cfrac{\partial \mathbf{r}'}{\partial \boldsymbol{\eta}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{\mathfrak{J}}\, d^3\boldsymbol{\eta}
=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\mathfrak{R}}\int_{\mathcal{V}'} \cfrac{\delta(\boldsymbol{\eta})}{1 - \hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\cdot\mathbf{v}/c}\, d^3\boldsymbol{\eta}
\,\!

這樣,可以得到黎納-維謝純量勢:

\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q c}{\mathfrak{R} c - \boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{v}}\,\!

類似地,也可以推導出黎納-維謝向量勢。

物理意義[编辑]

對於固定不動的帶電粒子,電勢的方程式為

\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{q}{\mathfrak{R}}\,\!

這是黎納-維謝純量勢乘以雅可比行列式因子 \mathfrak{J}\,\! 。追根究柢,原因是移動中的帶電粒子,雖然理論上是點粒子,但是由於它是在移動中,在積分裏所佔有的體積顯得比較大,所帶的電荷因此比較多,所以產生的電勢不同。

移動中的帶電粒子的電磁場[编辑]

從黎納-維謝勢,可以計算電場 \mathbf{E}\,\! 和磁場 \mathbf{B}\,\!

\mathbf{E} = - \nabla \Phi -  \dfrac {\partial \mathbf{A}} { \partial t } \,\!
\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}\,\!

求得的電場 \mathbf{E}\,\! 和磁場 \mathbf{B}\,\! 分別為[5]

\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \cfrac{\mathfrak{R}}{(\boldsymbol{\mathfrak{R}}\cdot \mathbf{u})^3}
[(c^2 - v^2)\mathbf{u}+\boldsymbol{\mathfrak{R}}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{a})]\,\!
\mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\times\mathbf{E}(\mathbf{r},\,t)\,\! ;

其中,向量 \mathbf{u}\,\! 設定為 c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}} - \mathbf{v}\,\! ,帶電粒子的加速度\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}\,\!

檢查電場 \mathbf{E}\,\! 的方程式,右邊第一項稱為廣義庫侖場,又稱為速度場,因為這項目與加速度無關。當 v\ll c\,\! ,粒子速度超小於光速時,\mathbf{u}\to c\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}\,\! ,這項目會趨向庫侖方程式

\mathbf{E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 }\ \frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\,\!

右邊第二項稱為輻射場,又稱為加速度場,因為這項目的物理行為主要是由粒子的加速度決定。這個項目能夠描述電磁輻射的生成程序。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 
  2. ^ Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert (1861–1928): Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287 
  3. ^ Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972 
  4. ^ Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117 
  5. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X.