黑体 (物理学)

當黑體的溫度降低時，黑體輻射曲線峰值會移向較低強度和更長波長的位置。黑體輻射曲線圖可以和經典模型瑞利-金斯定律相比較。

黑體輻射的顏色（色度）設根據黑體的溫度變化的；這些顏色的軌跡，如上面的CIE1931色彩空間圖所示，為普朗克軌跡（或稱為黑體軌跡）。

在熱力學中，黑体（英语：Black body），旧称绝对黑体，是一个理想化的物体，它能夠吸收外来的全部电磁辐射，並且不會有任何的反射與透射。隨著溫度上升，黑體所輻射出來的電磁波與光線則稱做黑體辐射。這個名詞在1862年由克希荷夫所提出並引入熱力學內。

定義簡述

黑體對於任何波长的电磁波的吸收係数为1，透射係数为0。但黑體不見得就是黑色的，即使它沒辦法反射任何的電磁波，它也可以放出電磁波來，而這些電磁波的波長和能量則全取決於黑體的溫度，不因其他因素而改變。

當然，黑體在700K以下時看起來是黑色的，但那也只是因為在700K之下的黑體所放出來的輻射能量很小且輻射波長在可見光範圍之外。若黑體的溫度高過上述的溫度的話，黑體則不會再是黑色的了，它會開始變成紅色，並且隨著溫度的升高，而分別有橘色、黃色、白色等顏色出現，即黑體吸收和放出電磁波的過程遵循了光譜，其軌跡为普朗克軌跡（或稱為黑體軌跡）。黑體輻射實際上是黑體的熱輻射。在黑體的光譜中，由於高溫引起高頻率即短波長，因此較高溫度的黑體靠近光譜結尾的藍色區域而較低溫度的黑體靠近紅色區域。

在室溫下，黑體放出的基本為紅外線，但當溫度漲幅超過了百度之後，黑體開始放出可見光，根據溫度的升高過程，分別變為紅色，橙色，黃色，白色和藍色。當黑體變為白色的時候，它同時會放出大量的紫外線。

黑体单位表面积的辐射通量$P$与其温度的四次方成正比，即：

$P=\sigma T^4$

式中$\sigma$称为斯特藩-玻爾茲曼常數，又稱為斯特藩常数。

黑體的放射過程引發物理學家對量子場內的熱平衡狀態的興趣。在經典物理中，所有熱平衡的傅里葉模型都遵循能量均分定理。當物理學家使用經典物理解釋黑體時，不可避免的發生了紫外災難，即用於計算黑體輻射強度的瑞利-金斯定律在輻射頻率趨向於無窮大時計算結果也趨向於無窮大。由於黑體可以用於檢驗熱平衡的性質，因為它放出的輻射遵循熱力學散射，歷史上對黑體的研究成為了量子物理開始的契機。

細節

在實驗室內，研究者們可以模擬最靠近黑體的設備是大型空腔表面所開的一個小洞。只要有光線射向這個小洞，光線便會在空腔內反射或者被空腔內的牆壁所吸收，而只剩下微乎極微的光線可以再由洞口射出，亦即入射的光線幾乎都被吸收了，而沒有反射。如此，這個小洞就有如一個黑體一般，而且當空腔開始加熱以後，小洞發出來的幅射所形成的光譜將會是連續的且和空腔材質無關。依據克希荷夫熱輻射定律，光譜的圖形只和空腔的溫度有關，而和其他因素沒有關係。

黑體輻射方程

黑體輻射的普朗克公式

用于描述在任意温度$T\,$下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率$\nu$的函数：

$I(\nu,T)d\nu = \left(\frac{2 h\nu^{3}}{c^2}\right)\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}\, d\nu$

各個物理量的意義

$I \,$ ：辐射率，在单位时间内从单位表面积和单位立体角内以单位频率间隔或单位波长间隔辐射出的能量, [J ·s ^-1·m ^-2·sr ^-1·Hz ^-1];

$h\,$  : 普朗克常数, [J ·s ];

$c\,$  : 光速, [s ];

$k\,$  : 玻尔兹曼常数, [J /K ];

$\nu \,$ : 電磁波的频率, [Hz ];

$T\,$ : 黑体的温度, [K ].

黑體輻射的維恩位移定律

維恩位移定律表述了不同溫度的黑體波譜之間的聯繫。一旦某一個溫度下的黑體波譜形狀已知，則可通過維恩位移定律推導出同一黑體在其它溫度下的波譜形狀。

維恩位移定律計算出黑體輻射強度達到最大時的波長，$\lambda_\mathrm{max}$，這個物理量只和黑體的溫度相關：

$\lambda_\mathrm{max} = \frac{b}{T}$

其中 b 为比例常数，称为维恩位移常数，数值等于2.897 7685(51) × 10^–3 m K （2002年国际科技数据委员会(CODATA)推荐值，括号中为68.27%置信度下的不确定尾数）。

注意到強度的峰值可以表達為單位波長強度或是單位頻率強度，在維恩位移定律中使用的是單位波長強度的表達式，而在上面的普朗克黑體輻射定律中則使用的是單位頻率強度。單位頻率能量達到最大時的波長為

$\lambda'_\mathrm{max} = \frac{5.1 \times 10^{-3} \mbox{ m·K}}{T}$

黑體輻射的斯特藩-玻爾茲曼定律

這條定理指出，一個黑體表面單位面積放出的能量正比於其絕對溫度的4次方：

$j^{\star} = \sigma T^4,$

其中 $j^{\star}$ ：單位面積所放出的總能量，[J ]
$T$ : 黑體的絕對溫度，[K ]
$\sigma$：斯特藩-玻爾茲曼常數，

$\sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670 400(40) \times 10^{-8} \textrm{J\,s}^{-1}\ textrm{m}^{-2}\textrm{K}^{-4}.$

人體的輻射

人體的大多數能量以紅外線的形式散射掉了。一些材料對可見光是不透明的，但是對紅外線卻沒有任何遮蓋能力（注意照片中的垃圾袋），相反另一些材料對可見光是透明的，反而會對紅外線產生阻擋或反射（注意照片中人物的眼鏡）。

黑體輻射同樣適用於人體，因為人體的一部分能量以電磁波的形式散射出體表，其中大部分為紅外線。

净放射功率是吸收功率和放出功率的差值：

$P_{net}=P_{emit}-P_{absorb}.$

代入黑體輻射的斯特藩-玻爾茲曼定律：

$P_{net}=A\sigma \epsilon \left( T^4 - T_{0}^4 \right) \,$

人體的表面積約為2平方米，皮膚和大多數衣物（非金屬材質）中，遠紅外線熱發射率基本相同。皮膚的溫度大概為33°C，但在約為20°C的環境溫度影響下，衣物會使體表溫度降為大約28°C。因此，人體的净放射功率约為

$P_{net} = 100 \ \mathrm{W} \,$

人體一天所放出的總能量大約為9000千焦，或者為2000千卡。一個40歲的成年人的基礎代謝率約為35千卡/(米²·小時)，即為1700千卡每天（以2平方米為基準）。實際上即便是靜坐的成年人每日的平均代謝率也比基礎代謝率高出约50%到70%。

熱對流和體液蒸發也是人體散失能量的重要因素。因為努塞爾特數遠遠大於單一個體，所以熱傳導可以忽略。蒸發（汗液）這個要素只有在熱輻射和熱對流在某個恆溫環境內不起主導因素時才給予考慮。自由熱傳導率儘管比輻射率小，但是也是可以進行比較的。因此，人體在靜止涼爽的環境中散失的總熱能的三分之二是由於熱輻射導致的。由於使用了很多假設情況下的近似值，所以這個結果只能算是粗略的估計。人體周圍的空氣運動所引起的對流或是體液蒸發同樣和熱輻射一樣是導致體能流失的重要因素。

如果在人體這個黑體上使用維恩位移定律，可以得到人體放出輻射的波長峰值為：

$\lambda_{peak} = \frac{2.898\times 10^6 \ \mathrm{K} \cdot \mathrm{nm}}{305 \ \mathrm{K}} = 9500 \ \mathrm{nm} \,$.

這個結果可以解釋為什麼人體熱像儀的波長一般設為非常靈敏的7000到14000納米。

行星和其衛星之間的熱力學關係

黑體輻射定理的應用之一是用於概略的估計一個行星的溫度。其表面可能由於溫室效應而比估計溫度高。

因素

地球（雲層，大氣和地面）的長波熱輻射強度

行星的溫度主要和以下幾個因素相關：

• 外來的輻射(比如来自某個恆星)
• 本身放出的輻射(比如地球自身紅外輻射)
• 反照率 (行星反射的輻射)
• 溫室效應(只針對有大氣的行星)
• 行星自身產生的能量(由於放射性衰變，潮汐加熱和克赫歷程)

所有的輻射，無論是行星內部產生的，其他恆星還是其本身放出的，對行星的溫度都有很重要的影響。以下的推導即著重討論輻射。

推導

首先使用斯特藩-玻爾茲曼定律得到太陽放射出的總功率（能量/秒）：

可以認為地球受到太陽照射的地區仅等於一個二維的圆形面積而非整個球面。

$P_{S emt} = \left( \sigma T_{S}^4 \right) \left( 4 \pi R_{S}^2 \right) \qquad \qquad (1)$

其中

$\sigma \,$ ： 斯特藩-玻尔兹曼常数

$T_S \,$ ： 太陽的表面溫度

$R_S \,$ ： 太陽的半徑

太陽平均的向各個方向放出能量，因此，地球實際上只是接受到其中很小的一部分。這部分能量為（指接觸到大氣層外部）：

$P_{SE} = P_{S emt} \left( \frac{\pi R_{E}^2}{4 \pi D^2} \right) \qquad \qquad (2)$

其中

$R_{E} \,$ : 地球的半徑

$D \,$ ： 天文單位， 太陽與地球的平均距離

由於本身的高溫，太陽發出的射線大多數屬於紫外線和可見光（UV-Vis）頻率範圍。在這個頻率範圍內，地球會反射一部分能量，其數量為$\alpha$，即地球對UV-Vis範圍射線的反照率。反過來，即地球吸收了$1-\alpha$的太陽光，並反射了剩下的。地球和其大氣層所吸收的能量為：

$P_{abs} = (1-\alpha)\,P_{SE} \qquad \qquad (3)$

雖然地球僅僅以一個面積為$\pi R^2$的圓形區域進行吸收，但是它同時以一個球體的形態向各個方向放出能量。假設地球是一個完全黑體，它將遵循斯特藩-玻爾茲定理：

$P_{emt\,bb} = \left( \sigma T_{E}^4 \right) \left( 4 \pi R_{E}^2 \right) \qquad \qquad (4)$

其中$T_{E}$是地球的溫度。由於地球的溫度明顯低於太陽，其放射的多為光系的紅外線(IR)部分。在這個頻率範圍內，地球會放出黑體總放射波的一部分，大約為$\overline{\epsilon}$，$\overline{\epsilon}$是紅外線頻率的平均放射率。因此地球和其大氣層實際放出的能量為：

$P_{emt} = \overline{\epsilon}\,P_{emt\,bb} \qquad \qquad (5)$

假設地球處於熱平衡，則吸收的能量等於放射的能量：

$P_{abs}=P_{emt} \qquad \qquad (6)$

代入所有關於太陽和地球能量的表達式（1-5）可以得到：

$T_E=T_S\sqrt{\frac{R_S\sqrt{\frac{1-\alpha}{\overline{\epsilon}}}}{2D}}$

換句話說，考慮到所有的估計值，地球的溫度與下列因素有關：太陽的表面溫度，太陽的半徑，日地間距，以及地球的反照率和紅外發射率。

地球的溫度

如果我們代入對太陽和地球的測量值：

$T_{S} = 5778 \ \mathrm{K},$

$R_{S} = 6.96 \times 10^8 \ \mathrm{m},$

$D = 1.496 \times 10^{11} \ \mathrm{m},$

$\alpha = 0.306 \$

並將平均放射率設為單位量，我們可以得到地球的”有效溫度“為：

$T_E =$ 254.356 K or -18.8 °C.

這個溫度值是基於地球是一個完全黑體的假設，忽略溫室效應並認為地球的反照率完全不變的基礎上得到的。而實際上地球僅是非常接近一個完美黑體，所以我們必須將估計溫度定為比有效溫度高出好幾度。如果我們想要估計地球在沒有大氣層的情況下的溫度，我們可以使用月球的反照率和發射率進行計算。月球的反照率和發射率大約為0.1054 和0.95， 因此，可以得到這種情況下的溫度約為1.36 °C. 地球的平均反照率的估計值在0.3–0.4之間，由此我們可以得到不同的估計溫度。進行計算時相較於太陽的溫度，尺寸和日地距離，人們更加常用日照常量（總日照量密度）。 比如使用0.4為反照率並使用日照量密度1400 W m⁻²，可以得到約為245K的地球溫度。同理，如果使用0.3的反照率以及1372 W m⁻²的日照常量，地球溫度為255 K。

運動黑體的多普勒效應

多普勒效應是著名的物理現象，人們用它來描述當一個光源對觀察者作相對運動時，其光的頻率的變化。如果f是一個單色光源的發射頻率，則由觀察者看來，當它做相對運動時，其的頻率為f'：

$f' = f \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} (1 - \frac{v}{c} \cos \theta)$

其中v是這個光源對觀察者的相對速度，θ 是速度向量和觀察者及光源間連線的夾角，c 為光速。 上面的公式為總公式，還可以從其得到一些更簡單的特殊例子，如光源直接向觀察者移動(θ = π) 或是離開觀察者(θ = 0)，當然其移動速度遠遠小於c。

参见

• 黑体辐射
• 普朗克公式
• 灰体
• 白体 (物理学)