黑克代數

黑克代數，又名黑克環，是對稱羣環（group ring for the symmetric group）$\mathbb{c}\mathfrak{S}_d$的$\epsilon-$形變，在代數數論及表示論都會出現。

定義

設

• $\epsilon \in \mathbb{C}$
• $l \geq 1$

黑克環$\mathfrak{H}_l(\epsilon)$產生自：

• $\sigma_1, \sigma_2, ......, \sigma_{l-1}$

而$\sigma_i$要符合：

• $\sigma_i\sigma_i^{-1}=\sigma_i^{-1}\sigma_i=1$
• 當|i-j|>1，就有 $\sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i$
• 當j=i+1，就有$\sigma_i\sigma_j\sigma_i=\sigma_j\sigma_i\sigma_j$
• $(\sigma_i+1)(\sigma_i-\epsilon)=0$

當l=1時，就約定$\mathfrak{H}_1(\epsilon)=\mathbb{C}$。

留意：最後一項條件中當$\epsilon=1$時，$\sigma_i^2=1$，此所謂形變。

參攷

• Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1994), "A Guide to Quantum Groups", Cambridge, ISBN 0-521-55884-0 , p.332