黑林格-特普利茨定理

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黑林格-特普利茨定理數學泛函分析的定理,以德國數學家恩斯特·黑林格奧托·特普利茨命名。

敘述[编辑]

\mathcal H希爾伯特空間T : \mathcal H \rightarrow \mathcal H是處處定義的對稱線性算子,即對任意x,\,y \in \mathcal H都有等式

\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle

那麼,T有界(因此也是連續)。

證明[编辑]

閉圖像定理可知,只需證明:如果序列(x_n)_{n \in \mathbb N}趨於0,y := \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,那麼y = 0。因為內積\mathcal H連續,故得

\begin{align}\langle y,y\rangle &= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle \\
&= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle \\
&= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle \\
&= \langle 0,Ty \rangle \\
&= 0\end{align}

所以y = 0

推論[编辑]

  • 任何對稱且在\mathcal H上處處定義的算子是自伴算子
  • 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結果[编辑]

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符,但一些可觀察量(如能量)的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義,只能定義在稠密子集上。

量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是L^2(\mathbb R),即\mathbb R平方可積函數空間,能量算符H定義為(設其單位選取使得\hbar=m=\omega=1

 [Hf](x) = - \frac12 \frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2} f(x) + \frac12 x^2 f(x).

這算符是自伴無界的(其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...),所以不能在整個L^2(\mathbb R)上定義。

參考[编辑]

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)