黑林格－特普利茨定理

黑林格-特普利茨定理是數學泛函分析的定理，以德國數學家恩斯特·黑林格和奧托·特普利茨命名。

敘述

設$\mathcal H$為希爾伯特空間，$T : \mathcal H \rightarrow \mathcal H$是處處定義的對稱線性算子，即對任意$x,\,y \in \mathcal H$都有等式

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,Ty \rangle$。

那麼，$T$有界（因此也是連續）。

證明

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列$(x_n)_{n \in \mathbb N}$趨於0，$y := \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n$，那麼$y = 0$。因為內積在$\mathcal H$上連續，故得

$\begin{align}\langle y,y\rangle &= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} Tx_n,y \rangle \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle Tx_n,y \rangle \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \langle x_n,Ty \rangle \\ &= \langle \lim_{n \rightarrow \infty} x_n,Ty \rangle \\ &= \langle 0,Ty \rangle \\ &= 0\end{align}$

所以$y = 0$。

推論

• 任何對稱且在$\mathcal H$上處處定義的算子是自伴算子。
• 無界自伴算子最多只能定義在希爾伯特空間的一個稠密子集上。

物理結果

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是$L^2(\mathbb R)$，即$\mathbb R$上平方可積函數空間，能量算符$H$定義為（設其單位選取使得$\hbar=m=\omega=1$）

$[Hf](x) = - \frac12 \frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2} f(x) + \frac12 x^2 f(x).$

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個$L^2(\mathbb R)$上定義。

參考

• Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)