點燈夫群

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群論中,點燈夫群英语Lamplighter group)是兩個\mathbb Z/2\mathbb Z\mathbb Z圈積(\mathbb Z/2\mathbb Z) \wr \mathbb Z,也可以表示為兩個\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)\mathbb Z的半直積

\left(\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)\right)\rtimes \mathbb Z

其中\mathbb Z以平移作用\bigoplus_{\mathbb Z} (\mathbb Z/2\mathbb Z)

點燈夫群是有限生成群,不過並非有限展示的。點燈夫群有如下標準展示:

\langle a, t\mid a^2 , [t^i a t^{-i}, t^j a t^{-j}], i,j\in \mathbb Z \rangle

點燈夫群的名稱來自以下闡釋:假設有一列向左右無限伸延的街燈及一個點燈夫。每盞街燈有明和暗兩種狀態。起初點燈夫在原點處的街燈下,而所有燈都關了。點燈夫群的元素,可視為對點燈夫的指示:把元素用a, t寫成一個字,然後從左到右讀,如果是a,點燈夫把面前的街燈點亮或者熄滅;如果是t,點燈夫向右移到下一個街燈;如果是t-1,點燈夫向左移到下一個街燈。這樣每個元素就代表街燈的狀態及點燈夫的位置。[1]

點燈夫群特別之處,在於這個群是可均群(因為是可解群),卻有指數增長率[2]

參考[编辑]

  1. ^ Cleary, Sean; Taback, Jennifer. Metric properties of the lamplighter group as an automata group. Geometric methods in group theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc.. 2005: pp. 207-218. 
  2. ^ V. A. Kaimanovich and A. M. Vershik. Random Walks on Discrete Groups: Boundary and Entropy. Annals of Probability. 1983, 11 (3): 457–490.