齐性空间

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数学,特别是李群代数群拓扑群的理论中,关于G的一个齐性空间homogeneous space)是一个非空流形拓扑空间XG通过对称连续传递作用在X上。一个特例是如果拓扑群G就是空间X自同胚群,则X是齐性的,在直觉上说是X于任何地方局部看起来一样。一些作者要求G的作用是有效的(或忠实),不过本文并不要求这样。从而X上存在可以想象为保持X上相同“几何结构”的一个群作用,使X成为一个单G-轨道

正式定义[编辑]

X是一个非空集合,G是一个群。如果存在GX上一个作用,则X称为一个G-空间[1]。注意G通过自同构自动作用在这个集合上。如果X还额外属于某一个范畴,则要求G中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由GX上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个G作用传递的G空间。

简明地说,如果X是范畴C中一个对象,则一个G-空间结构是G到范畴C中对象X的自同构群一个同态

\rho : G \to \mathrm{Aut}_{\mathbf{C}}(X).

若ρ(G)是承载集合X的一个传递的、对称群,则二元组 (X,ρ)定义了一个齐性空间。

例子[编辑]

例如,若X是一个拓扑空间,则要求群元素在X上的作用是自同胚G-空间的结构是到X自同胚群的一个群同态ρ : G → Homeo(X)。

类似地,如果X是一个微分流形,则群元素是微分同胚G-空间结构是到X微分同胚群的一个群同态ρ : G → Diffeo(X)。

几何[编辑]

埃尔朗根纲领的观点,可以理解在X几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如欧几里得空间仿射空间射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型,比如双曲空间,同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间(等价于,四维向量空间中的二维子空间)。用简单的线性代数可以证明GL4传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化:存在2×4矩阵的2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克Julius Plücker)的线几何

齐性空间作为陪集[编辑]

一般地,如果X是一个齐性空间,而HoX中某一给定点o稳定子(选取一个原点),X中的点对应于左陪集G/Ho

选取不同的原点o一般将得到G商去一个不同子群Ho′,它与Ho相差一个G内自同构。准确地,

H_{o'} = gH_og^{-1}    (1)

这里gG中任何元素使得go = o′。注意内自同构 (1)与g的选取无关,只取决与g模去Ho

如果GX上的作用连续,则HG的一个闭子群。特别地,如果G是一个李群,则由嘉当定理H是一个闭李子群。从而G/H是一个光滑流形,并且X带有与这个群作用相容惟一的光滑结构

如果H是恒同子群{e},则X是一个主齐性空间

例子[编辑]

对线几何之例子,我们可将H等同于16-维一般线性群

GL4

的一个12-维子群,由如下矩阵元素的条件定义

h13 = h14 = h23 = h24 = 0,

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了X的维数是4。

因为由子式给出的齐次坐标有6个,这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系,已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

准齐性向量空间[编辑]

准齐性向量空间概念由佐藤幹夫提出。

它是带有一个代数群G作用的有限维向量空间X,使得存在G的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集(从而稠密)。一个例子是GL1作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格:这样的空间具有不寻常的性质,不可约准齐性向量空间在相差一个稱之為「castling」的轉換下存在一个分类。

物理中的齐性空间[编辑]

凡用到广义相对论宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量空间部分;例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基I(平坦),V(开),VII(平坦或开)与IX(闭)型子集来代表,而Mixmaster universe代表一个比安基IX型宇宙的各向异性例子[2]

一个N维齐性空间允许一个由N(N-1)/2 基灵向量场组成的集合[3]。三维时,总共给出了六个线性无关的基灵向量场;齐性3-空间可以使用这些向量场的线性组合,来寻找在任何地方都非零的基灵向量场\xi^{(a)}_{i}

\xi^{(a)}_{[i;k]}=C^{a}_{\ bc}\xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k ,

这里C^{a}_{\ bc}为“结构常数”,是一个秩-3张量,两个下指标反对称;表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形,可能有C^{a}_{\ bc}=0(I型),但在闭FLRW宇宙情形,C^{a}_{\ bc}=\varepsilon^{a}_{\ bc}这里\varepsilon^{a}_{\ bc}列维-奇维塔符号

参考文献[编辑]

  1. ^ 我们假设这个作用在左边。这个区别只在X作为一个陪集的描述时才重要。
  2. ^ 列夫·朗道and Evgeny Lifshitz, Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann, 1980, ISBN 978-0750627689 
  3. ^ Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, 1972 

另见[编辑]