齐性空间

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学,特别是李群代数群拓扑群的理论中,关于 G 的一个齐性空间homogeneous space)是一个非空流形拓扑空间 XG 通过对称连续传递作用在 X 上。一个特例是如果拓扑群 G 就是空间 X自同胚群,则 X 是齐性的,在直觉上说是 X 于任何地方局部看起来一样。一些作者要求 G 的作用是有效的(或忠实),不过本文并不要求这样。从而 X 上存在可以想象为保持 X 上相同“几何结构”的一个群作用,使 X 成为一个单 G-轨道

正式定义[编辑]

X 是一个非空集合,G 是一个群。如果存在 GX 上一个作用,则 X 称为一个 G-空间[1]。注意 G 通过自同构自动作用在这个集合上。如果 X 还额外属于某一个范畴,则要求 G 中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由 GX 上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个 G 作用传递的 G 空间。

简明地说,如果 X 是范畴 C 中一个对象,则一个 G-空间结构是 G 到范畴 C 中对象 X 的自同构群一个同态

\rho : G \to \mathrm{Aut}_{\mathbf{C}}(X).

若 ρ(G) 是承载集合 X 的一个传递的、对称群,则二元组 (X,ρ) 定义了一个齐性空间。

例子[编辑]

例如,若 X 是一个拓扑空间,则要求群元素在 X 上的作用是自同胚G-空间的结构是到 X 自同胚群的一个群同态 ρ : G → Homeo(X) 。

类似地,如果 X 是一个微分流形,则群元素是微分同胚G-空间结构是到 X 微分同胚群的一个群同态 ρ : G → Diffeo(X) 。

几何[编辑]

埃尔朗根纲领的观点,可以理解在 X几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如欧几里得空间仿射空间射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型,比如双曲空间,同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间(等价于,四维向量空间中的二维子空间)。用简单的线性代数可以证明 GL4 传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化:存在 2×4 矩阵的 2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克Julius Plücker)的线几何

齐性空间作为陪集[编辑]

一般地,如果 X 是一个齐性空间,而 HoX 中某一给定点 o稳定子(选取一个原点),X 中的点对应于左陪集 G/Ho

选取不同的原点 o 一般将得到 G 商去一个不同子群 Ho′,它与 Ho 相差一个 G内自同构。准确地,

H_{o'} = gH_og^{-1}    (1)

这里 gG 中任何元素使得 go = o′。注意内自同构 (1) 与 g 的选取无关,只取决与 g 模去 Ho

如果 GX 上的作用连续,则 HG 的一个闭子群。特别地,如果 G 是一个李群,则由嘉当定理 H 是一个闭李子群。从而 G/H 是一个光滑流形,并且 X 带有与这个群作用相容惟一的光滑结构

如果 H 是恒同子群 {e},则 X 是一个主齐性空间

例子[编辑]

对线几何之例子,我们可将 H 等同于 16-维一般线性群

GL4

的一个 12-维子群,由如下矩阵元素的条件定义

h13 = h14 = h23 = h24 = 0,

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了 X 的维数是 4。

因为由子式给出的齐次坐标有 6 个,这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系,已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

准齐性向量空间[编辑]

准齐性向量空间概念由佐藤幹夫提出。

它是带有一个代数群 G 作用的有限维向量空间 X,使得存在 G 的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集(从而稠密)。一个例子是 GL1 作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格:这样的空间具有不寻常的性质,不可约准齐性向量空间在相差一个稱之為「castling」的轉換下存在一个分类。

物理中的齐性空间[编辑]

凡用到广义相对论宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量空间部分;例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基 I(平坦),V(开),VII(平坦或开)与 IX(闭)型子集来代表,而 Mixmaster universe 代表一个比安基 IX 型宇宙的各向异性例子[2]

一个 N 维齐性空间允许一个由 N(N-1)/2 基灵向量场组成的集合[3]。三维时,总共给出了六个线性无关的基灵向量场;齐性 3-空间可以使用这些向量场的线性组合,来寻找在任何地方都非零的基灵向量场 \xi^{(a)}_{i}

\xi^{(a)}_{[i;k]}=C^{a}_{\ bc}\xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k ,

这里 C^{a}_{\ bc} 为“结构常数”,是一个秩-3 张量,两个下指标反对称; 表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形,可能有 C^{a}_{\ bc}=0(I 型),但在闭 FLRW 宇宙情形,C^{a}_{\ bc}=\varepsilon^{a}_{\ bc} 这里 \varepsilon^{a}_{\ bc}列维-奇维塔符号

参考文献[编辑]

  1. ^ 我们假设这个作用在左边。这个区别只在 X 作为一个陪集的描述时才重要。
  2. ^ 列夫·朗道 and Evgeny Lifshitz, Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann. 1980, ISBN 978-0750627689 
  3. ^ Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons. 1972 

另见[编辑]