齐性空间

在数学，特别是李群、代数群与拓扑群的理论中，关于群 G 的一个齐性空间（homogeneous space）是一个非空流形或拓扑空间 X，G 通过对称连续传递作用在 X 上。一个特例是如果拓扑群 G 就是空间 X 的自同胚群，则 X 是齐性的，在直觉上说是 X 于任何地方局部看起来一样。一些作者要求 G 的作用是有效的（或忠实），不过本文并不要求这样。从而 X 上存在可以想象为保持 X 上相同“几何结构”的一个群作用，使 X 成为一个单 G-轨道。

正式定义

设 X 是一个非空集合，G 是一个群。如果存在 G 在 X 上一个作用，则 X 称为一个 G-空间。注意 G 通过自同构自动作用在这个集合上。如果 X 还额外属于某一个范畴，则要求 G 中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由 G 在 X 上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个 G 作用传递的 G 空间。

简明地说，如果 X 是范畴 C 中一个对象，则一个 G-空间结构是 G 到范畴 C 中对象 X 的自同构群一个同态：

$\rho : G \to \mathrm{Aut}_{\mathbf{C}}(X).$

若 ρ(G) 是承载集合 X 的一个传递的、对称群，则二元组 (X,ρ) 定义了一个齐性空间。

例子

例如，若 X 是一个拓扑空间，则要求群元素在 X 上的作用是自同胚。G-空间的结构是到 X 自同胚群的一个群同态 ρ : G → Homeo(X) 。

类似地，如果 X 是一个微分流形，则群元素是微分同胚。G-空间结构是到 X 微分同胚群的一个群同态 ρ : G → Diffeo(X) 。

几何

从埃尔朗根纲领的观点，可以理解在 X 的几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如欧几里得空间、仿射空间和射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型，比如双曲空间，同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间（等价于，四维向量空间中的二维子空间）。用简单的线性代数可以证明 GL₄ 传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化：存在 2×4 矩阵的 2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克（Julius Plücker）的线几何。

齐性空间作为陪集

一般地，如果 X 是一个齐性空间，而 H_o 是 X 中某一给定点 o 的稳定子（选取一个原点），X 中的点对应于左陪集 G/H_o。

选取不同的原点 o 一般将得到 G 商去一个不同子群 H_o′，它与 H_o 相差一个 G 的内自同构。准确地，

$H_{o'} = gH_og^{-1}$    (1)

这里 g 是 G 中任何元素使得 go = o′。注意内自同构 (1) 与 g 的选取无关，只取决与 g 模去 H_o。

如果 G 在 X 上的作用连续，则 H 是 G 的一个闭子群。特别地，如果 G 是一个李群，则由嘉当定理 H 是一个闭李子群。从而 G/H 是一个光滑流形，并且 X 带有与这个群作用相容惟一的光滑结构。

如果 H 是恒同子群 {e}，则 X 是一个主齐性空间。

例子

对线几何之例子，我们可将 H 等同于 16-维一般线性群

GL₄

的一个 12-维子群，由如下矩阵元素的条件定义

h₁₃ = h₁₄ = h₂₃ = h₂₄ = 0,

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了 X 的维数是 4。

因为由子式给出的齐次坐标有 6 个，这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系，已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

准齐性向量空间

准齐性向量空间概念由佐藤幹夫提出。

它是带有一个代数群 G 作用的有限维向量空间 X，使得存在 G 的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集（从而稠密）。一个例子是 GL₁ 作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格：这样的空间具有不寻常的性质，不可约准齐性向量空间在相差一个稱之為「castling」的轉換下存在一个分类。

物理中的齐性空间

凡用到广义相对论的宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量的空间部分；例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基 I（平坦），V（开），VII（平坦或开）与 IX（闭）型子集来代表，而 Mixmaster universe 代表一个比安基 IX 型宇宙的各向异性例子。

一个 N 维齐性空间允许一个由 N(N-1)/2 基灵向量场组成的集合。三维时，总共给出了六个线性无关的基灵向量场；齐性 3-空间可以使用这些向量场的线性组合，来寻找在任何地方都非零的基灵向量场 $\xi^{(a)}_{i}$，

$\xi^{(a)}_{[i;k]}=C^{a}_{\ bc}\xi^{(b)}_i \xi^{(c)}_k ,$

这里 $C^{a}_{\ bc}$ 为“结构常数”，是一个常秩-3 张量，两个下指标反对称，$;$ 表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形，可能有 $C^{a}_{\ bc}=0$（I 型），但在闭 FLRW 宇宙情形，$C^{a}_{\ bc}=\varepsilon^{a}_{\ bc}$ 这里 $\varepsilon^{a}_{\ bc}$ 是列维-奇维塔符号。

另见

• 埃尔朗根纲领
• 克莱因几何（Klein geometry）