齐次函数

把函数的自变量乘以一个因子，如果此時因變量相當於原函數乘以这个因子的幂，则称此函数为齐次函数。

正式定义

假设$f: V \rarr W \qquad\qquad$是域$F \qquad\qquad$内的两个向量空间之间的函数。

我们说$f \qquad\qquad$是“$k \qquad\qquad$次齐次函数”，如果对于所有非零的$\alpha \isin F \qquad\qquad$和$\mathbf{v} \isin V \qquad\qquad$，都有：

$f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})$

即是，在歐幾里得空間，$f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v})$， 其中$f(k)$為指數函數。

例子

• 线性函数$f: V \rarr W \qquad\qquad$是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的$\alpha \isin F \qquad\qquad$和$\mathbf{v} \isin V \qquad\qquad$，都有：

$f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})$

• 多线性函数$f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad$是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的$\alpha \isin F \qquad\qquad$和$\mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n \qquad\qquad$都有：

$f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)$

• 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间$X$和$Y$之间的函数$f: X \rightarrow Y$的$n$阶弗雷歇导数是$n$次齐次函数。

• $n$元单项式定义了齐次函数$f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$。

例如：

$f(x,y,z)=x^5y^2z^3$

是10次齐次函数，因为：

$(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3$。

• 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

$x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4$

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理

• 尤拉定理：假设函数$f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$是可导的，且是$k$次齐次函数。那么：

$\mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad$。

这个结果证明如下。记$f=f(x_1,\ldots,x_n)$，并把以下等式两端对$\alpha$求导：

$f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})$

利用复合函数求导法则，可得：

$\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_1)+ \cdots\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{y})$，

因此：

$y_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})+ \cdots y_n\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{y})$。

以上的方程可以用劈形算符写为：

$\mathbf{y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{y}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{y}), \qquad\qquad \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n})$，

当$\alpha=1$，定理即得证。

• 假设$f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}$是可导的，且是$k$阶齐次函数。则它的一阶偏导数$\partial f/\partial x_i$是$k-1 \qquad\qquad$阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记$f=f(x_1,\ldots,x_n)$，并把以下等式两端对$y_i$求导：

$f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})$

利用复合函数求导法则，可得：

$\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(\alpha y_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(y_i)$，

因此：

$\alpha\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})$

所以

$\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})$.

用于解微分方程

对于以下的微分方程

$I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,$

其中$I$和$J$是同次数的齐次函数，利用变量代换$v=y/x$，可以把它化为可分离变量的微分方程：

$x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v$。

参考文献

• Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.//Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德文）. 

外部链接

• PlanetMath上Homogeneous function的資料。