齐次函数

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函数自变量乘以一个因子,如果此時因變量相當於原函數乘以这个因子的,则称此函数为齐次函数

正式定义[编辑]

假设 f: V \rarr W \qquad\qquad  F \qquad\qquad内的两个向量空间之间的函数。

我们说 f \qquad\qquad是“ k \qquad\qquad次齐次函数”,如果对于所有非零的 \alpha \isin F \qquad\qquad \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad,都有:

 f(\alpha \mathbf{v}) = \alpha^k f(\mathbf{v})

即是,在歐幾里得空間 f(\alpha \mathbf{v}) = f(k) \ f(\mathbf{v}) , 其中f(k)指數函數

例子[编辑]

  • 线性函数 f: V \rarr W \qquad\qquad 是一次齐次函数,因为根据线性的定义,对于所有的 \alpha \isin F \qquad\qquad \mathbf{v} \isin V \qquad\qquad,都有:
f(\alpha \mathbf{v})=\alpha f(\mathbf{v})
  • 多线性函数 f: V_1 \times \ldots \times V_n \rarr W \qquad\qquad 是n次齐次函数,因为根据多线性的定义,对于所有的 \alpha \isin F \qquad\qquad \mathbf{v}_1 \isin V_1,\ldots,\mathbf{v}_n \isin V_n \qquad\qquad都有:
f(\alpha \mathbf{v}_1,\ldots,\alpha \mathbf{v}_n)=\alpha^n f(\mathbf{v}_1,\ldots, \mathbf{v}_n)
  • 从上一个例子中可以看出,两个巴拿赫空间XY之间的函数f: X \rightarrow Yn弗雷歇导数n次齐次函数。

例如:

f(x,y,z)=x^5y^2z^3

是10次齐次函数,因为:

(\alpha x)^5(\alpha y)^2(\alpha z)^3=\alpha^{10}x^5y^2z^3
  • 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如:
x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理[编辑]

  • 尤拉定理:假设函数 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}可导的,且是 k 次齐次函数。那么:
 \mathbf{x} \cdot \nabla f(\mathbf{x})= kf(\mathbf{x}) \qquad\qquad

这个结果证明如下。记f=f(x_1,\ldots,x_n) ,并把以下等式两端对\alpha求导:

f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})

利用复合函数求导法则,可得:

\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_1)+ \cdots\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}(\alpha y_n) = k \alpha ^{k-1} f(\mathbf{y})

因此:

y_1\frac{\partial}{\partial x_1}f(\alpha\mathbf{y})+ \cdots
y_n\frac{\partial}{\partial x_n}f(\alpha\mathbf{y}) = k \alpha^{k-1} f(\mathbf{y})

以上的方程可以用劈形算符写为:

 \mathbf{y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf{y}) = k \alpha^{k-1}f(\mathbf{y}), \qquad\qquad \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n})

\alpha=1,定理即得证。

  • 假设 f:\mathbb{R}^n \rarr \mathbb{R}是可导的,且是 k 阶齐次函数。则它的一阶偏导数\partial f/\partial x_i k-1 \qquad\qquad阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记f=f(x_1,\ldots,x_n) ,并把以下等式两端对y_i求导:

f(\alpha \mathbf{y})=\alpha^k f(\mathbf{y})

利用复合函数求导法则,可得:

\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(\alpha y_i) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y_i}(y_i)

因此:

\alpha\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^k \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y})

所以

\frac{\partial}{\partial x_i}f(\alpha\mathbf{y}) = \alpha ^{k-1} \frac{\partial}{\partial x_i}f(\mathbf{y}).

用于解微分方程[编辑]

对于以下的微分方程

I(x, y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + J(x,y) = 0,

其中IJ是同次数的齐次函数,利用变量代换v=y/x,可以把它化为可分离变量的微分方程

x \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=-\frac{J(1,v)}{I(1,v)}-v

参考文献[编辑]

  • Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.//Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德文). 

外部链接[编辑]