龐特里亞金對偶性

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數學上,特別是在調和分析拓撲群的理論中,龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果,如:

  • 實數線上夠「好」的複數值周期函數能表成傅立葉級數,反之也能從傅立葉級數推出原函數。
  • 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換;一如周期函數,在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。

此理論由龐特里亞金首開,並結合了約翰·馮·諾伊曼安德魯·韋伊哈爾測度理論,它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。

哈爾測度[编辑]

一個拓撲群 G 被稱作局部緊的,若且唯若其單位元素 e 有個緊鄰域。明白地說,這代表存在一個包含 e 的開集 V,使得它在 G 裡的閉包 \bar{V} 是緊的。局部緊群 G 最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度,稱作哈爾測度,這使得我們可以一致地為 G 中「夠好」的子集測量大小;在此「夠好」的明確意義是博雷爾集,即由緊集生成的σ-代數。更明確地說,局部緊群 G 的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度 μ,並在  \mu(xg) = \mu(x) \; (\forall g \in G) 的意義下滿足「右不變性」;此測度尚須滿足一些正則性(詳見主條目哈爾測度)。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領,亦可定義左不變哈爾測度,當 G 是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義 G 上的複數值博雷爾函數的積分,特別是可以考慮相關的 L^p空間:

L^p_\mu(G) = \left\{f: G \rightarrow \mathbb{C}: \int_G |f(x)|^p\, d \mu(x) < \infty \right\}

以下是局部緊阿貝爾群的若干例子:

  • \mathbb{R}^n,配上向量加法。
  • 正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於 \mathbb{R}
  • 任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理,任何這樣的群都是循環群的直積。
  • 整數 \mathbb{Z} 配上加法,並賦予離散拓撲。
  • 圓群 \mathbb{T}。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構 \mathbb{T} \cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}
  • p進數配上加法及其p進拓撲。

對偶群[编辑]

G是局部緊阿貝爾群,G 的一個特徵是一個從 G 到圓群 \mathbb{T} 的群同態;特徵在逐點乘法下構成一個群,一個特徵的反元素是它的複共軛。可證明所有 G 上的特徵在緊-開拓撲(即:以緊集上的一致收斂定義收歛性)下構成一個局部緊阿貝爾群,稱作對偶群,記為 \hat{G}G^\wedge。若 G 可分,則 \hat{G} 可度量化,對一般的 G 則不盡然。

定理. 二次對偶 G^{\wedge\wedge}G 有個自然同構。

在此,「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射 G \rightarrow G^{\wedge\wedge},要點是它在範疇中滿足函子性(詳見條目範疇論)。舉例明之:任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群,但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下:

 x \mapsto \{\chi \mapsto \chi(x) \}\mbox{ i.e. } x(\chi):=\chi(x).

換言之,我們藉著將一個元素 x \in G 在每個 G 的特徵上求值,得到一個 \hat{G} 上的特徵。

例子[编辑]

在整數對加法形成的無窮循環群 \mathbb Z (配上離散拓撲)上,設 χ 為一特徵,則 \chi(n)=\chi(1)^n,因此 χ 決定於 χ(1) 的值;反之,給定一個 \alpha \in \mathbb{T},必存在特徵 χ 使得 χ(1)=α,由此得到群同構 \mathbb{Z}^\wedge \stackrel{\sim}{\rightarrow} \mathbb{T} 。此外也容易驗證 \mathbb{Z}^\wedge 上的緊-開拓撲對應到 \mathbb{T} 誘導自 \mathbb{C} 的拓撲。

因此,\mathbb{Z} 的對偶群自然地同構於 \mathbb{T}

反之,\mathbb{T} 上的特徵皆形如 z \mapsto z^n,其中 n 是整數。由於 \mathbb{T} 是緊的,其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出,對應的不外是 \mathbb Z 上的離散拓撲。因此 \mathbb{T} 的對偶群自然地同構於 \mathbb Z

實數對加法構成的群 \mathbb R 同構於自身的對偶群;\mathbb{R} 上的特徵皆形如 r \mapsto e^{ir},其中 r 是實數。藉著這些對偶性,下節描述的傅立葉變換將符應於 \mathbb{R} 上的古典版本。

傅立葉變換[编辑]

對於一個局部緊阿貝爾群 G,傅立葉變換的值域是其對偶群 。設 f \in L^1(G),則其傅立葉變換是下述 \hat{G} 上的函數:

 \widehat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\;d\mu(x)

其中 μ 是 G 上的一個哈爾測度。可以證明 \hat{f}\hat{G} 上的有界連續函數,且在無窮遠處趨近零。同理可給出 g \in L^1(\hat{G}) 的傅立葉逆變換

 \check{g} (x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)\;d\nu(\chi)

其中 ν 是 \hat{G} 上的一個哈爾測度。

群代數[编辑]

局部緊阿貝爾群 G 上的可積函數構成一個代數,其乘法由卷積給出:設 f, g \in L^1(G),則卷積定義為

 [f \star g](x) = \int_G f(x - y) g(y)\, d \mu(y).

定理. 巴拿赫空間 L^1(G) 在卷積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作 G群代數。根據 L^1(G) 的完備性,它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數 L^1(G) 一般沒有乘法單位元,除非 G 離散。但它有個近似單位元,這是個,以一有向集 I 為索引,寫作 (e_i)_{i \in I} 並滿足下述性質。

 f \star e_i \rightarrow f.

傅立葉變換將卷積映至逐點乘法,即:

 \mathcal{F}( f \star g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi).

特別是,對任意 G 上的特徵 χ,可在群代數上定義一積性線性泛函

 f \mapsto \widehat{f}(\chi).

群代數的重要性質之一,在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡(即:非恆零)的積性線性泛函。見文獻中 Loomis 著作的第34節。

普朗歇尔暨傅立葉反轉定理[编辑]

如前所述,一個局部緊阿貝爾群 G 的對偶群依然是局部緊阿貝爾群,因而帶有一族哈爾測度,彼此至多差一個比例常數。

定理. 對偶群上存在一個哈爾測度,使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。

 \mathcal{F}: L^2_\mu(G) \rightarrow L^2_\nu(\widehat{G})

其中 \nu 是對偶群上既取的哈爾測度。

注意到:若 G 非緊,L^1(G) 並不包含 L^2(G),所以我們須訴諸一些技巧,例如限制於一個稠密子空間。

依循 Loomis 書中術語,我們稱一對 G 與其對偶群上的哈爾測度 (\mu, \nu)相繫的,若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含:對所有 G 上的連續緊支集複數值函數 f 都有

 \int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} |\widehat{f}(\chi)|^2 \ d \nu(\chi)

在平方可積函數空間上,我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換;它可以刻劃為傅立葉變換之逆(或其伴隨算子,因為傅立葉變換是么正的),這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

定理. 取定一對相繫哈爾測度 (\mu, \nu); 對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制,其伴隨算子是傅立葉逆變換:

  L^2_\nu(\widehat{G}) \rightarrow L^2_\mu(G)
  • G = \mathbb{R}^n 的情形,我們有 \hat{G} = \mathbb{R}^n,若取下述相繫的哈爾測度,則回到傅立葉變換的古典定義:
 \mu = (2 \pi)^{-n/2} \times (勒貝格測度)
 \nu = (2 \pi)^{-n/2} \times (勒貝格測度)
  • G=\mathbb{T} 的情形,對偶群 \hat{G} 自然同構於 \mathbb{Z},而上述算子 F 歸於計算周期函數的傅立葉係數。
  • G 為有限群,則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。

玻爾緊化[编辑]

龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃:

定理. 一個局部緊阿貝爾群 G 為緊,若且唯若對偶群 \hat{G} 為離散。另一方面,G 為離散若且唯若 \hat{G} 為緊。

對任何拓撲群,無論局部緊或交換與否,皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群 G ,考慮拓撲群 \hat{H},其中 H 就群結構而言是 \hat{G},但帶離散拓撲。由於下述包含映射

 \iota: H \rightarrow \widehat{G}

是個連續同態,其對偶同態

 G \sim \widehat{\widehat{G}} {\rightarrow} \widehat{H}

是個映至一個緊群的同態;可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質,因而 \hat{H} 確為 G的玻爾緊化。

範疇論觀點[编辑]

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以 LCA 表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇

對偶群的構造 G \mapsto \hat{G} 給出一個對偶函子 \mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}^\mathrm{op}。其二次迭代 G \mapsto G^{\wedge\wedge} 遂給出函子 \mathbf{LCA} \rightarrow \mathbf{LCA}

定理. 對偶函子是一個範疇等價。

定理. 對偶函子的二次迭代自然同構於 LCA 上的恆等函子。

此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶(特別是實與複向量空間)。

龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若 R 是一個,而 G 是個左 R-模,則從對偶性可推知離散左 R-模與緊右 R-模對偶。LCA 裡的自同態環 \mathrm{End}(G) 依對偶性對應至其反環(即:環的乘法次序交換)。舉例明之:取 G = \mathbb{Z},則 \hat{G} = \mathbb{T};前者滿足 \mathrm{End}(G)=\mathbb{Z},對後者亦然。

非交換理論[编辑]

對非交換群 G 沒有類似的理論,因為此時對偶的對象 \hat{G}={G 的不可約表示之同構類} 不只有一維表示,因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作 Tannaka-Krein 對偶定理;但它缺乏與調和分析的聯繫,因而無法處理關於 \hat{G} 上的普朗歇尔測度的問題。

某些非交換群的對偶理論以C*-代數的語言表述。

源流[编辑]

龐特里亞金在1934年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的,並且是緊群或離散群。此條件先後由 E.R. van Kampen (1935年)與安德魯·韋伊(1953年)改進為局部緊阿貝爾群。

文獻[编辑]

下列書籍(可在大部分大學圖書館找到)都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier 的著作有非交換調和分析的材料,也有英譯本。

  • Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
  • Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
  • Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
  • Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968 (2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000).
  • Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.