龙格-库塔法

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数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

背景知识和其它方法请参看数值常微分方程条目。

经典四阶龙格库塔法[编辑]

龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初值信息,利用计算机仿真时应用,省去求解微分方程的复杂过程。

初值问题表述如下。

 y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0

则,对于该问题的RK4由如下方程给出:

 y_{n+1} = y_n + {h \over 6} (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)

其中

 k_1 = f \left( t_n, y_n \right)
 k_2 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_1 \right)
 k_3 = f \left( t_n + {h \over 2}, y_n + {h \over 2} k_2 \right)
 k_4 = f \left( t_n + h, y_n + hk_3 \right)

这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:

  • k1是时间段开始时的斜率;
  • k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值;
  • k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;
  • k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。

当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:

\mbox{slope} = \frac{k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4}{6}.

RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5,而总积累误差为h4阶。

注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。

显式龙格库塔法[编辑]

显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出

 y_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b_i k_i,

其中

 k_1 = f(t_n, y_n), \,
 k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+a_{21}hk_1), \,
 k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+a_{31}hk_1+a_{32}hk_2), \,
 \vdots
 k_s = f(t_n+c_sh, y_n+a_{s1}hk_1+a_{s2}hk_2+\cdots+a_{s,s-1}hk_{s-1}).

(注意:上述方程在不同著述中有不同但却等价的定义)。

要给定一个特定的方法,必须提供整数s (级数),以及系数 aij (对于1 ≤ j < is), bi (对于i = 1, 2, ..., s)和ci (对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为龙格库塔表

0
 c_2  a_{21}
 c_3  a_{31}  a_{32}
 \vdots  \vdots  \ddots
 c_s  a_{s1}  a_{s2}  \cdots  a_{s,s-1}
 b_1  b_2  \cdots  b_{s-1}  b_s

龙格库塔法是自治的,如果

\sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} = c_i\ \mathrm{for}\ i=2, \ldots, s.

如果要求方法有精度p则还有相应的条件,也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。这些可以从舍入误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。

例子[编辑]

RK4法处于这个框架之内。其表为:

0
1/2 1/2
1/2 0 1/2
1 0 0 1
1/6 1/3 1/3 1/6

然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的) 欧拉方法,如果给定公式 y_{n+1} = y_n + hf(t_n,y_n) 。这是唯一自治的一级显式龙格库塔方法。相应的表为:

0
1

参考[编辑]

  • George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
  • Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)