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碎形一般是指「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少會大略）是整體縮小尺寸的形狀」[1]，此一性質稱為自相似。碎形一詞是由曼德勃罗於1975年提出的，有「零碎」、「破裂」之意。
分形一般有以下特質：[2]
因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似，所以通常被認為是無限複雜的（以不严谨的用詞來說）。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪片等等。但是，並不是所有自相似的東西都是碎形，如實線雖然在形式上是自相似的，但卻不符合碎形的其他特質。
要做出一個
科赫雪花，首先先畫出一個正三角形，然後再將每一邊中央三之分一長的線段以一對同長度的線段取代，使之成為一個等腰的「凸角」。接下來，再對上一步驟所形成的每一個邊做同樣的動作，無限遞迴下去。隨著每一次的
迭代，此形狀的周長會增加出原長度的三分之一來。科赫雪花即是無限次迭代的結果，且會有無限長的長度，但其面積卻還是有限的。因此，科赫雪花和其他相似的構造有時會被稱為「怪獸曲線」。
[编辑] 歷史
17世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似，碎形的數學從那時開始漸漸地成形（雖然他誤認只有直線會自相似）。
直到1872年，卡爾·魏爾施特拉斯給出一個處處連續但處處不可微的例子，在今日被認為是碎形的圖形才出現。1904年，科赫·范·卡區不滿意魏爾施特拉斯那抽象且解析的定義，給出一個相似函數但更幾何的定義，今日稱之為科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基造出了謝爾賓斯基三角形；隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯。原本，這些幾何碎形都被認為是碎形，而不如現今所認為的二維形狀。1938年，保羅·皮埃爾·萊維在他的論文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中將自相似曲線的概念更進一步地推進，他在文中描述了一個新的碎形曲線－萊維C形曲線。
格奧爾格·康托爾也給出一個具有不尋常性質的實數子集－康托爾集，今日也被認為是碎形。
複數平面的迭代函數在19世紀末20世紀初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克萊因、皮埃爾·法圖和加斯東·茹利亞等人所研究，但直到現在有電腦繪圖的幫忙，許多他們所發現的函數才顯現出其美麗來。
1960年代，伯努瓦·曼德勃羅開始研究自相似，且寫下一篇論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》。最後，1975年，曼德勃羅提出了「碎形」一詞，來標記一個物件，其豪斯多夫維數會大於拓扑维数。曼德勃羅以顯著的電腦架構圖像來描繪此一數學定義，這些圖像有著普遍的映象；許多都基於递归，以至「碎形」的一般意思。
即使將曼德勃羅集合放大2000倍,還是會顯示出類似整個集合的精細結構。
[编辑] 造法
四個製造碎形的一般技術如下：
-
[编辑] 分類
碎形也可以依據其自相似來分類，有如下三種：
-
- 精確自相似：這是最強的一種自相似，碎形在任一尺度下都顯得一樣。由迭代函數系統定義出的碎形通常會展現出精確自相似來。
- 半自相似：這是一種較鬆的自相似，碎形在不同尺度下會顯得大略（但非精確）相同。半自相似碎形包含有整個碎形扭曲及退化形式的縮小尺寸。由遞迴關係式定義出的碎形通常會是半自相似，但不會是精確自相似。
- 統計自相似：這是最弱的一種自相似，這種碎形在不同尺度下都能保有固定的數值或統計測度。大多數對「碎形」合理的定義自然會導致某一類型的統計自相似（碎形維數本身即是個在不同尺度下都保持固定的數值測度）。隨機碎形是統計自相似，但非精確及半自相似的碎形的一個例子。
[编辑] 應用
-
如上所述，隨機碎形可以用來描述許多高度不規則的現實世界的物件。其他碎形的應用亦包括[3]：
[编辑] 软件
[编辑] 参考文献
- ^ Mandelbrot, B.B.（1982）．The Fractal Geometry of Nature．W.H. Freeman and Company.．ISBN 0-7167-1186-9．
- ^ Falconer, Kenneth（2003）．Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications．John Wiley & Sons, Ltd.，xxv．ISBN 0-470-84862-6．
- ^ Applications．於2007年10月21日查閱．
- [1] Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
- [2] Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
- [3] Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
- [4] 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
- [5] 陈顒 陈凌，2005，分形几何学，北京:地震出版社
[编辑] 外部链接
