0

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小写	〇
大写	零
花码	〇
二进制	0
八进制	0
十二进制	0
十六进制	0

0（〇／零）是-1与1之间的整数。0既不是正数，也不是负数。0是偶数。在数论中，0不属于自然数；在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整數、實數和其他的代數結構中都有著單位元這個很重要的性質。

歷史

由于〇的概念在欧洲文化中是跟着从印度起源的印度-阿拉伯数字系统而传入的，因此很多人认为〇這個數字是印度人在約公元5世紀時發明，实际上很早就有文化懂得零的概念。古埃及在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。瑪雅文明最早發明0這個數字，比印度人還早一些，比歐洲人還早800年。

在中國很早便有0這個概念，許多文獻中均有記載。中国古代使用算筹進行计算，在算盤上，以空位表示0。自从前4世纪，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。公元1世纪的《九章算術》说：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。」）以上文字裡的「無入」通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算術》）虽然如此，但是當時并没有使用符号來表示零。瞿曇悉達于公元718年将印度数字〇引入中国，以此来代替算筹。 宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字。公元1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示零的概念。李冶《测圆海镜》第十四问中用

元

。

代表：$-480-x$。

在690年時，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是「〇」了。现在该字被用为数字「零」的同义字。

10世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》第一部分叙述用印度数字0-9（ ० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹）为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

在1202年時，義大利商人斐波納契寫了一本《算盤書》。在東方中由於數學是以算術為主（西方當時以幾何和邏輯為主），由於運算上的需要，自然地引入了0這個數。

由於一些原因，在初時引入0這個符號到西方時，曾經引起西方人的困惑，因當時西方認為所有數都是可數，而且0這個數字會使很多算式，邏輯不能成立（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用；直至約公元15、16世紀，0和負數才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。

数学性质

• 0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
  国际标准ISO 31-11:1992中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb{N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。
• 0是平方数。
• 0是個高斯整數。
• 0是偶数。
• 0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
• 0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
• 0没有倒数和负倒数，任何數（包括0）除以0皆無意義。
• 0不能做对数的底。
• 0的正数次方等于0，0的负数次方无意义（因為分母不可為0）。
• 0的0次方目前數學家沒有給予正式的定義，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。
• 0! 定義為1。
• 0和任何數的最大公因數是另一個數。
• 0是任何數的倍數。

關於0的一些證明

0是偶數

因為0可被2 整除，所以是偶數，也證明它不是質數。

另外說法：設兩數：2n、2n+1，其中n屬於Z 而0=2n且0≠2n+1，又2n屬於偶數。

除以0无意义證明

設$a = \dfrac{x}{0}$（$a\,\!$和$x\,\!$為任何非0的實數）。

$\begin{align} a \times 0 = x \\ \because a \times 0 = 0 \\ \ne x \end{align}$

$\therefore a$無意義

但當$x = 0\,\!$時，$a\,\!$可以是任何數，也是說0的倒數（當$x = 1\,\!$時）也是無意義。

在無限數學中，除以0為±∞。

0的因數和倍數

當$a \times b = c$（$a\,\!$、$b\,\!$、$c\,\!$為整數）時，定義$a\,\!$和$b\,\!$為$c\,\!$的因數，$c\,\!$為$a\,\!$和$b\,\!$的倍數。

$\because a \times 0 = 0$（$a\,\!$為任何實數）

$\therefore a$為0的因數，0為$a\,\!$的倍數

又因0必定是最小非負數，所以必定是最小公倍數；另$a \ge 0$，所以$a\,\!$是最大公因數。

数字系统

• 在計算機科學中，0經常用於表示布尔值假（F）。
• 在数字电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用0和1两个值。0表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，1表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。

人类文化

• 6世紀時，由於自君士坦丁大帝以後，羅馬帝國舉國改信基督教，僧侶就決定改以耶穌出世的年份為1年。但當時0這個數字並未被接受，因此沒有0年。
• 数字0的使用使數學快速發展。

另見

• 「0」開頭的條目

参见

• -0
• 除以零
• 無

外部鏈接

• 阎坤. 关于0的虚数及实数标记 (2009)