1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

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數學上,1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一無窮級數,在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子,由阿基米德於公元前250-200年發現[1],其總和為1/3。一般來說,對於任何一個 a,若等比數列的第一項是 a,而公比為1/4,其收斂總和如下:

a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots = \frac43 a.

圖像示範[编辑]

3s = 1.

通常以正方形和三角形來展示「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...」這一無窮級數;將一個正方形或一個三角形分成四等分,每一分的面積為原先的四分一,並不斷重複(如圖左[2][3])。

假設圖左的正方形面積為1,則最大的黑色正方形面積為(1/2)x(1/2)= 1/4。同樣地,第二大黑色正方形的面積為1/16,第三大黑色正方形面積為1/64。如此類推,黑色正方形占的所有面積為1/4 + 1/16 + 1/64 + ...,這也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面積。由於這三種顏色的正方涵蓋正個原先的正方形,數學上寫成:

3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1.
3s = 1

同樣的幾何方法也適用於三角形,如圖右[2][4][5]。如果大三角形的面積為1,則最大的黑色三角形的面積為 1/4,依此類推。另外,整個圖案與其中的上部分次小三角形中的圖案,具有自相似的性質。若圖案不斷重複,將形成一個謝爾賓斯基三角形

阿基米德[编辑]

拋物線的求積

阿基米德在其《拋物線的求積》中,以窮舉法拋物線內的面積,在過程中牽涉到一系列的三角形。左圖有一拋物線,其中AE割線,被分成相等線段,阿基米德證明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面積的 1/4。然後,他分別在三角形CDE和三角形ABC上相似地各畫上兩個三角,這四個三角的面積總和為三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此類推,他證明拋物線與割線之間的面積是三角形ACE的4/3。

命題23:設一系列的面積 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大,而每個面積為下一個面積的4倍,則:

A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A.

為證明以上命題,阿基米德先計算:

\begin{array}{rcl}
\displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} & = &\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em]
  & = &\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y).
\end{array}

別一方面:

\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y).

將這方程式減去之前的方程式:

B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A

再在方程式兩面各加上A,以得到最終結果[6]

現今,1 + 1/4 + 1/16 + ... 的標準寫法如下:

1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}.

參考[编辑]

  1. ^ Shawyer and Watson p. 3.
  2. ^ 2.0 2.1 Nelsen and Alsina p. 74.
  3. ^ Ajose and Nelson.
  4. ^ Stein p. 46.
  5. ^ Mabry.
  6. ^ This presentation is a shortened version of Heath p.250.