1 + 2 + 3 + 4 + …

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橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸進線,其與縱軸相交的截距值為−112

1 開始算起,所有自然数的和 1 + 2 + 3 + 4 + …是一个发散级数,其數學式也寫作

\sum_{n=1}^{\infin} n,

此級數的前 n部分和\frac{n(n+1)}{2},是一個三角形數

尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透過黎曼ζ函數正規化拉馬努金和等方法可產生一有限值 -\frac{1}{12},表示為:

1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}.

此結果在复分析量子力学弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明[编辑]

前六個三角形數

自然数從 1 加到 n 的和是 \frac{n(n+1)}{2} 能用许多方法证明。首先令

S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,

我们将这些项重排反着写:

S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,

将两者相加,对应项相加,我们得到

2S_n = \underbrace{(n+1) + ((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots+(3+(n-2))+(2+(n-1)) + (1+n)}_{n},
2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n},
2S_n = n\cdot(n + 1),
S_n = \frac{n(n+1)}{2}.

ζ函数的求和与解析连续性[编辑]

s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数等于求和 \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 -\frac{1}{12}


1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外給其定義,其拉马努金和-\frac{1}{12}[1]

物理[编辑]

波色弦理论中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为 一组 D 无关量子谐振子,这里 D 是时空的维数。如果基本振子频率是 \omega 则一个振子对 n 级谐波的贡献是 n\hbar\omega/2。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 -\hbar\omega D/24。最后这确实是正确的,与 no-ghost theorem 一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力

历史[编辑]

拉马努金写给哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):

“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究Bromwich的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列 1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12}。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。[2]

注释[编辑]

  1. ^ Hardy p.333
  2. ^ Berndt et al p.53. "Bromwich" 处链接为编辑所加并作了一些版式改动。

引用[编辑]

延伸阅读[编辑]

外部链接[编辑]