1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

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數學上,發散級數

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k!

是被歐拉首次研究,他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值[1]。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值,其中一個方法是用博雷爾和,其型式上寫成:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \int_0^\infty x^k \exp(-x) \, dx

若我們對總和和積分進行轉乘(忽略兩者其實都是不收斂的),將得到:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k  k! = \int_0^\infty \left[\sum_{k=0}^\infty (-x)^k \right]\exp(-x) \, dx

在中括號中的總和收斂,並等於1/(1 + x),若x < 1。若我們繼續對所有實數x分析1/(1 + x),可以得到收斂積分的總和:

\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} k! = \int_0^\infty \frac{\exp(-x)}{1+x} \, dx = e E_1 (1) \approx 0.596347362323194074341078499369\ldots

此處的E_1 (z)指數積分。這是根據博雷爾和對級數的定義。

結果[编辑]

k為前十個值,其結果如下:

k 增量
計算
增量 結果
0 1 · 0! = 1 · 1 1 1
1 −1 · 1 −1 0
2 1 · 2 · 1 2 2
3 −1 · 3 · 2 · 1 −6 −4
4 1 · 4 · 3 · 2 · 1 24 20
5 −1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −120 −100
6 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 720 620
7 −1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −5040 −4420
8 1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 40320 35900
9 −1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 −362880 −326980

參見[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ Euler 1760,p.205)

參考資料[编辑]