24点

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24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏,游戏内容是:从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张,任意抽取4张牌,把牌面上的数(A代表1)运用括号进行运算得出24。每张牌都必须使用一次,但不能重复使用。在不同版本中,对J、Q、和K的处理有些差异。一个常见的版本是把J、Q、和K去除,或当成10;还有一个版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。

有些组合有不同种算法,例如2,4,6,Q四张牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4 × 6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4 × (6 + 2) = 24等来求解。也有些组合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等组合。

较有难度的24点[编辑]

虽然大多数24点存在很多解法,有相当一部分数字组合只存在唯一的解法。这种组合往往较有难度,也较为有趣。这里总结一些常见的组合。

分数运算[编辑]

虽然给出4个数字都是整数,中间步骤中有时会出现分数。这种4个数字的组合往往较有难度。一个经典的例子是1,5,5,5,其解答为5 × (5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一个例子是3,3,8,8,其解答为8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因为后者用到了两次除法,其解法比较难以想到。另外一些类似的组合为:

数字组合 解法 数字组合 解法
 2,  4, 10, 10 (2 + 4 ÷ 10) × 10  2,  5,  5, 10 (5 − 2 ÷ 10) × 5
 2,  7,  7, 10 (2 + 10 ÷ 7) × 7  3,  3,  7,  7 (3 + 3 ÷ 7) × 7
 4,  4,  7,  7 (4 − 4 ÷ 7) × 7  2,  2, 11, 11 (2 + 2 ÷ 11) × 11
 2,  2, 13, 13 (2 − 2 ÷ 13) × 13  1,  3,  4,  6 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
 2,  3,  5, 12 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)  1,  8, 12, 12 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

大数/奇数运算[编辑]

大多数组合中,中间步骤只会涉及到一些较小的数字(≤32)。但是有些组合中会涉及到一些较大数字,这些组合通常较有难度。比如4、4、10、10的解法为(10 × 10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法为6 × 9 − 5 × 6 = 24。此外如果运算涉及到一些奇数的运算也会增加难度,比如6、9、9、10的解法为9 × 10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:

数字组合 解法 数字组合 解法
 1,  3,  9, 10 (1 + 10) × 3 − 9  7,  8,  8, 10 10 × 8 − 7 × 8
 9, 11, 12, 12 11 × 12 − 9 × 12  1,  2,  7,  7 (7 × 7 − 1) ÷ 2
 3,  8,  8, 10 (8 × 10 − 8) ÷ 3  4,  8,  8, 11 (8 × 11 + 8) ÷ 4
 5, 10, 10, 13 (10 × 13 − 10) ÷ 5  1,  5, 11, 11 (11 × 11 - 1) ÷ 5
 1,  6, 11, 13 (11 × 13 + 1) ÷ 6  1,  7, 13, 13 (13 × 13 − 1) ÷ 7

24点的组合数学[编辑]

其实独立的24点的个数并不多。如果每张牌面的数值被限制在1到K之间,独立的数字组合数由有重复的组合数给出。:

N = {K+3 \choose 4} = \frac{K(K+1)(K+2)(K+3)}{24} \,\!

譬如,如果最大的牌面数值为10,那么独立的数字组合为715个,远比10000要小;如果最大的牌面数值为13,那么独立的数字组合为1820个。这是因为其他的组合可以通过简单的数字交换得到。

可以用枚举证明,如果最大牌面数值为10,在715个组合中,有149个组合是没有解的。此外,如果我们随机的取4个1-10之间的数字,无解的概率为1442/10000大致为1/7。如果最大牌面数值为13,则会有458个组合无解(总数为1820)。

推广[编辑]

24点游戏可以被推广到多张牌(n>4)的情形。通常我们假定这n张牌是从一副牌中选出的,也就是说,每个数字至多出现4次。比如在5张牌、最大数值为10的情况下,有1992种不同的组合方式。其中无解的比例大大降低,一共为如下37种。如果最大数值为13,则无解的总数扩大为80。

1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3
1 1 1 9 9 1 1 1 9 10 1 1 1 10 10 1 1 2 2 2 1 1 6 7 7 1 1 7 7 7
1 1 9 9 9 1 1 9 9 10 1 1 10 10 10 1 5 9 9 9 1 6 7 7 7 1 7 7 7 7
1 7 9 9 9 1 8 9 9 10 1 8 9 10 10 1 9 9 9 9 1 9 9 9 10 1 9 9 10 10
1 9 10 10 10 1 10 10 10 10 2 9 9 9 9 3 5 5 5 5 4 9 9 9 9 6 7 7 7 7
6 10 10 10 10 8 9 9 9 10 8 9 9 10 10 9 9 9 9 10 9 9 9 10 10 9 9 10 10 10
9 10 10 10 10

注意到,以上罗列的情形中并没有5个相同数字的组合,比如,5个1,这是因为一副牌最多只有4个相同数字的牌。

在6张牌的情况下,在4905种不同的组合方式仅有3种组合是无解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。 在7张牌的情况下,所有组合方式(10890种)都有解。

影响[编辑]

该游戏在两国都十分流行,也是课堂教学的内容之一。[來源請求]

參見[编辑]