A无穷代数

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A无穷代数A-infinity algebra,或 \;A_{\infty}\;-algebra)是吉姆·斯塔谢夫(Jim Stasheff)在1960年代研究 H-空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构,又称为强同伦结合代数strongly homotopy associative algebra)。1970年代陈国才(K.-T. Chen)和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代深谷贤治在研究辛流形拉格朗日Floer同调Lagrangian Floer Homology)时推广了斯塔谢夫的概念,称为A无穷范畴A-infinity category\;A_{\infty}\;-category)。一般数学家把深谷的发现称为深谷范畴Fukaya category)。

定义[编辑]

\;V\;是数域\;k\;上的一个分次线性空间。\;V\;上的一个A无穷代数结构是一组映射

\;m_n:V^{\otimes n}\to V,\quad m_n\;的度数为\; n-2,\;

满足以下4组关系:

  1. \;m_1=d\;是一个微分,即\;d^2=0;\;
  2. \;m=m_2:V\otimes V\to V\;是一个链映射,换言之\;d\circ m=m\circ d;\;可以把\;m_2\;看成一个乘法,并且这个乘法能够降到同调上去;
  3. \;m_3:V^{\otimes 3}\to V\;是乘法\;m\;关于结合律的同伦,即
    \;a\cdot(b\cdot c)\ne (a\cdot b)\cdot c,\;
    而是在同伦的意义下是结合的:
    \;m_3d+dm_3=m(m\otimes Id)-m(Id\otimes m);\;
  4. \;m_4,\cdots\;是高阶同伦,即\;m_4\;\;m_3\;的同伦,\;m_5\;\;m_4\;的同伦等等,换言之
    m_nd-(-1)^{n}dm_n=\sum_{i+j=n+1,i,j\ge 2}(-1)^j m_i\circ m_j.\;

从上面的定义可以看出,对于一个A无穷代数,它的同调实际上形成一个结合代数。这也就是一个A无穷代数称为强同伦结合代数的原因。

等价定义[编辑]

如果读者熟悉余代数的概念,那么考虑\;V\;的元素度数降低1然后生成的张量代数,记为\;TV[1]\;\;TV[1]\;上有一个自然的余积,为

\;\Delta(a_1\otimes a_2\otimes\cdots\otimes a_n)=\sum_{i=0}^na_1\otimes\cdots\otimes a_i\bigotimes a_{i+1}\otimes\cdots\otimes a_n.\;

从而使\;TV[1]\;成为一个上代数\;V\;上的一个A无穷代数结构就是\;TV[1]\;上的一个余导子coderivation\;\delta\;并且满足\;\delta^2=0\;。关于这两个定义的等价性证明可以参考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的书。

详解[编辑]

Stasheff是怎样得到A无穷代数的结构的呢?我们下面以一个具体的例子,同时也是Stasheff所考虑的原型来说明。设\;M\;是一个拓扑空间\;x\;为其上一点。记

\Omega M:=\{f:[0,1]\to M|f(0)=f(1)=x\},\;

称为\;M\;环路空间based loop space)。在\;\Omega M\;上我们可以定义一种乘法,如下:任给\;\gamma_1,\gamma_2\in\Omega M\;

\;\gamma_1\circ\gamma_2:=\begin{cases}\gamma_1(2x),&\mbox{ if } 0\le x<\frac{1}{2}\\ \gamma_2(2x-1),& \mbox{ if } \frac{1}{2}\le x\le 1.\end{cases}

回忆学习基本群的时候,我们都验证过这样的乘法并不是结合的,但在同伦意义下是结合的:不难构造这样的同伦,记为\tilde m_3

\tilde m_3:[0,1]\times[0,1]\to M,

使得\tilde m_3(0,\cdot)=(\gamma_1\circ\gamma_2)\circ\gamma_3(\cdot),\tilde m_3(1,\cdot)=\gamma_1\circ(\gamma_2\circ\gamma_3)(\cdot)\;。对于\;\Omega M\;里面的4个元素,我们有下面五种乘法,他们是相互同伦的,如下图所示:

Associahedra.PNG

图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周\;S^1\;为参数的一串从\;[0,1]\;\;M\;的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的,因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以\;S^1\;为边的圆盘\;D^2\;上,即为同伦之间的同伦,记为\;\tilde m_4\;。如此一直进行下去,我们就得到\;\tilde m_5,\tilde m_6,\cdots\;,等等。在链水平上,我们把\;\tilde m_n\;对应的映射记为\;m_n\;,则不难看出\;m_n\;就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

例子[编辑]

  1. 一个平凡的例子是,任何一个(微分分次)结合代数都是一个A无穷代数。这里只要令\;m_3,m_4,\cdots\;都等于0就行了。
  2. 除了Stasheff的例子和上面这个平凡的例子之外,陈国才和Kadeishvili利用流形的微分形式也构造了一些A无穷的例子,其中陈国才的构造更为深刻,成为有理同伦论rational homotopy theory)中一个重要的理论。给定一个流形,考虑它上面的微分形式,这是一个微分分次代数(differential graded algebra, DGA),同时我们还可以考虑它的上同调,赋以一个平凡的微分,则它也形成一个微分分次代数。但是这两个微分分次代数不是链等价的!比如说,根据霍奇理论我们可以把上同调用调和形式作为代表,这种不等价性表现在两个调和形式的外积不一定是调和的。根据霍奇分解,我们可以把这种乘积再投射到调和形式里面去,但是这样定义出来的乘法却不再是结合的,但是在同伦的意义下结合。以此,我们实际上得到了一种A无穷代数。这就是陈国才和Kadeishvili以及后来研究者的基本思路,但是陈国才走的更远,他实际上揭示了这种A无穷代数跟流形的环路空间的拓扑之间的关系,以及这些A无穷代数的在某些情况下的退化跟流形本身的一些拓扑障碍有关系,跟Sullivan后来研究流形的形式化formality)有相似之处。

科斯居尔对偶和有理同伦论[编辑]

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解(resolution)的理论中。给定一个代数结构,我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构(对比于流形,这样分解就是波斯尼科夫塔)。这其中,所谓的科斯居尔分解是一种非常有效的分解方式,而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中:对于一个结合代数,它的科斯居尔分解有一个A无穷代数结构,而这个A无穷代数的科斯居尔分解又是一个A无穷代数,如此不已。但是,原来的结合代数和两次科斯居尔分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的,第二个分解和第四个分解也是如此,如此循环。这就是所谓的科斯居尔对偶Koszul duality)的概念。

对于李代数交换代数,我们同样可以进行科斯居尔分解。一个李代数的科斯居尔分解有一个C无穷代数(C是交换commutativity的英文缩写)结构,而一个交换代数的科斯居尔分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数,正如A无穷代数一样,他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科斯居尔分解后到C无穷代数然后再经科斯居尔分解到李无穷代数,所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的,对于交换代数也是如此。因此我们可以说,李代数和交换代数是相互科斯居尔对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的,他还证明,在有理系数下,这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型rational homotopy type)组成的范畴是等价的(有一些单连通性条件)。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式,得到了类似的结果,但是更几何,更直观。

A无穷范畴[编辑]

考虑一个范畴\;\mathfrak C\;。对于其中的四个对象及其之间态射

\;A\stackrel{f}{\longrightarrow}B\stackrel{g}{\longrightarrow}C\stackrel{h}{\longrightarrow}D,\;

我们有

\;(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h),\;

这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性,使之成为在同伦意义下是结合的,同时有高阶同伦算子,成为同伦的同伦,同伦的同伦的同伦,等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴,而是同伦意义下的范畴:它的“同调”形成一个范畴。

深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴的结构。给定一个辛流形,考虑其中的拉格朗日子流形Lagrangian submanifold)。对其中任意两个拉格朗日子流形,考虑所谓的拉格朗日Floer链复形,形成所谓的态射。深谷发现这些态射之间可以定义乘法,但是这个乘法本身不结合但在同伦意义下结合,他并构造了高阶同伦算子,使之成为一个A无穷范畴,现在称为深谷范畴。

相关概念[编辑]


参考文献[编辑]

Stasheff关于A无穷代数的构造见:

  • Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
  • Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陈国才的\;A_{\infty}\;-代数的构造,并不是在文章中明显给出的,但不难推导,见:

  • Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章发表于1980年,作者后来重新整理,题为On the homology theory of fiber spaces。原文见:

  • Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

关于Koszul对偶,最经典的文章见:

  • Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同伦论,见:

Sullivan的有理同伦论,见:

关于Fukaya范畴,见他的主页上的文章,以及

  • Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.