AKS質數測試

AKS 質數測試（又被稱為Agrawal–Kayal–Saxena質數測試和Cyclotomic AKS test）是一個決定型質數測試演算法 ，由三個來自Indian Institute of Technology Kanpur的計算機科學家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，在2002年8月6日發表於一篇題為質數屬於P的論文。作者們因此獲得了許多獎項，包含了2006年的歌德爾獎和2006年的Fulkerson Prize。這個演算法可以在多項式時間之內，決定一個給定整數是質數或者合數。

重要性

AKS最關鍵的重要性在於它是第一個被發表的一般的、多項式的、確定性的和無限定的質數判定算法。先前的算法至多達到了其中三點，但從未達到全部四個。

• AKS算法可以被用於檢測任何一般的給定數字是否為質數。很多已知的高速判定算法僅對滿足特定條件的算法適用。例如，卢卡斯-莱默检验法僅對梅森素數適用，而Pépin測試僅對費馬素數適用。
• 算法的最長運行時間可以被標識為一個關於目標數字長度的多項式。ECPP和APR能夠判斷一個給定數字是否為質數，但無法對所用輸入給出多項式時間範圍。
• 算法可以確定性地判斷一個給定數字是質數或是合數。隨機測試，例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW，可以在多項式時間內對給定數字進行校驗，但只能給出概率性的結果。
• AKS算法的正確性是不限定於任何輔助性未證明猜想的。一個反例是确定性米勒检验：該算法可以在多項式時間內對所有輸入給出確定性結果，但其正確性卻基於尚未被證明的廣義黎曼猜想。

概念

AKS 質數測試主要是基於以下定理：整數n (≥ 2)是質數，若且唯若

 $(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n} \qquad (1)$

這個同餘多項式對所有與n互質的整數a均成立。 這個定理是費馬小定理的一般化，並且可以簡單的使用二項式定理跟二項式係數的這個特徵:

${n \choose k} \equiv 0 \pmod{n}$ ，對任何 $0<k<n$ ，若且唯若 n 是質數

來證明出此定理。

雖然說關係式 (1) 基本上構成了整個質數測試，但是驗證花費的時間卻是指數時間。因此，為了減少計算複雜度, AKS改確認了以下的同餘多項式：

 $(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n, x^{r} - 1} \qquad (2)$

這個多項式與

 存在多項式 f 與 g，令:$(x - a)^n - (x^n - a) = nf + (x^r - 1)g \qquad (3)$

意義是等同的。

這個同餘式可以在多項式時間之內檢查完畢。這裡我們要注意所有的質數必定滿足此條件式 (令 g = 0 則 (3) 等於 (1)，因此符合 n 必定是質數)。 然而，有一些合數也會滿足這個條件式。有關AKS正確性的證明包含了推導出存在一個夠小的r以及一個夠小的整數集合A，令如果此同餘式對所有A裡面的整數都滿足，則n必定為質數。

歷史以及運算時間

在上文引用的論文的第一版本中，作者們證明了算法的漸近時間為Õ$(\log^{12}(n))$。換言之，算法使用少於n的數字長度的十二次方乘以一個（數字長度的）多重對數。但是，論文證明的時間上界卻過於寬鬆；事實上，一個被普遍相信的關於索菲熱爾曼質數分佈的假設如果為真，則會立即將最壞情況減至Õ$(\log^6(n))$。

在這一發現後的幾個月中，新的變體陸續出現（Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003）並依次提高了算法的速度（以改進幅度為序）。由於這些變體的出現，Crandall和Papadopoulos在其科學論文“AKS-類質數測試的實現”（2003年三月發表）中將其稱為算法的“AKS-類”。

出於對這些變體和其他回复的回應，論文“質數屬於P”稍後被進行了更新，新版本包括了一個AKS算法的正規公式化表述和其正確性證明。（這一版本在Annals of Mathematics上發表。）雖然基本思想沒有變化，r卻被採用了新方法進行選擇，而正確性證明也變得更加緊緻有序。與舊證明依賴於許多不同的方法不同，新版本幾乎只依賴於有限域上的分圓多項式的特徵。新版本同時也優化了時間複雜度的邊界到Õ$(\log^{10.5}(n))$。通過篩法獲得的其他結果可以將其進一步簡化到Õ$(\log^{7.5}(n))$。

在2005年，Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一個AKS的變體，可以在Õ(log⁶(n))次操作內完成測試（n是被測試數）。對於原算法的Õ(log¹²(n))邊界而言，這是一個顯著的改進。

演算法

整個演算法的操作如下：

輸入：整數 n > 1

1. 若存在整數a > 0 且b > 1 ，令 n = a^b ；則輸出合數
2. 找出最小的 r 令 ord_r(n) > log²(n).
3. 若 對某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，輸出合數。(gcd是指最大公因數)。
4. 若 n ≤ r, 輸出質數。
5. 對 a = 1 到 $\scriptstyle\lfloor \scriptstyle\sqrt{\varphi(r)}\log(n) \scriptstyle\rfloor$的所有數，

   如果 (X+a)ⁿ≠ Xⁿ+a (mod X^r − 1,n), 輸出合數。

6. 輸出 質數。

這裡的 ord_r(n)是n mod r的阶。 另外，這裡的log 代表以二為底的對數，$\scriptstyle\varphi(r)$則是r的歐拉函數。

下面說明若n是個質數，那麼算法總是會返回質數：由於n是質數，步驟1和3永遠不會返回合數。步驟5也不會返回合數，因為(2)對所有質數n為真。因此，算法一定會在步驟4或6返回質數。

對應地，如果n是合數，那麼算法一定返回合數：如果算法返回質數，那麼則一定是從步驟4或6返回。對於前者，因為n ≤ r， n必然有因子a ≤ r符合1 < gcd(a,n) < n，因此會返回合數。剩餘的可能性就是步驟6，在文章中，這種情況被證明不會發生，因為在步驟5中檢驗的多個等式可以確保輸出一定是合數。

外部連接

• 埃里克·韦斯坦因, AKS Primality Test at MathWorld
• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, containing photos and information about the three Indian scientists (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
• The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
• The PRIMES is in P little FAQ by Anton Stiglic
• 2006 Gödel Prize Citation
• 2006 Fulkerson Prize Citation
• [1]
• The AKS "PRIMES in P" Algorithm Resource