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ARCH模型

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ARCH模型Autoregressive conditional heteroskedasticity model)全称“自回归条件异方差模型”,解决了传统的计量经济学时间序列变量的第二个假设(變異數恆定)所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖计量经济学成果之一。

起源[编辑]

传统的计量经济学时间序列变量的第二个假设:假定时间序列变量的波动幅度(方差)是固定的,不符合实际,比如,人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的,并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志(Econometrica)的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性(volatility)问题,当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

ARCH模型内涵[编辑]

 \varepsilon_t 表示收益或者收益残差,假设 \varepsilon_t=\sigma_t z_t ,此处 z_t\sim iid\ N(0,1) (即独立同分布,均符合期望为0,方差为1的正态分布)此处序列 \sigma_t^2 建模为

 \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_p \varepsilon_{t-p}^2

(其中 \alpha_0>0 , \alpha_i\ge 0 , i>0 ,即各期收益非负数线性组合常数项正数。)

GARCH模型[编辑]

如果方差用ARMA模型表示,则ARCH模型变形为GARCH模型(波勒斯勒夫(Bollerslev),1986年)。

GARCH(p,q)模型为

 \sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 +\beta_1 \sigma_{t-1}^2+\cdots+\beta_p\sigma_{t-p}^2

IGARCH[编辑]

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH(p,q)模型可以表示为:

 \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q \beta_i \sigma_{t-i}^2
条件是: \sum_{i=1}^p \alpha_i + \sum_{i=1}^q \beta_i =1

GARCH-M[编辑]

GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M(1,1)模型可以表示为:

y_t = ~\gamma x_t + ~\phi~\sigma_{t-1} + ~\epsilon_t
 \sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2

残差项 ~\epsilon_t 定义为:

 ~\epsilon_t\sim \ N(0,\sigma_t^2)

ARCH模型的应用[编辑]

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化,它在金融工程学实证研究中应用广泛,使人们能更加准确地把握风险(波动性),尤其是应用在风险价值(Value at Risk)理论中,在华尔街是人尽皆知的工具。

ARCH模型的变形和发展[编辑]

参见[编辑]