ARMA模型

自回归滑动平均模型（英语：Autoregressive moving average model，簡稱：ARMA模型）。是研究时间序列的重要方法，由自迴歸模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自回归AR(p)模型

$X_t = c + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i}+ \varepsilon_t .\,$

自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。

滑动平均MA(q)模型

$X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,$

滑动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回归项和q個移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$X_t = \mu_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{j=0}^q \theta_j \varepsilon_{t-j} \$

ARMA滞后算子表示法

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）$L$ 来表示，$L^i X_t = X_{t-i}$。这样AR(p)模型可以写成为：

$\varepsilon_t = \left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \varphi(L) X_t\,$

其中φ 表示多项式

$\varphi(x) = 1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i x^i \,$

MA(q)模型可以写成为：

$X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t = \theta(L) \varepsilon_t\,$

其中θ 表示多项式

$\theta(x)= 1 + \sum_{i=1}^q \theta_i x^i \,$

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$\left(1 - \sum_{i=1}^p \varphi_i L^i\right) X_t = \left(1 + \sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \varepsilon_t\,$

或者

$\varphi(L) X_t = \theta(L) \varepsilon_t.\,$

若$\varphi(L)=1$,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若$\theta(L)=1$,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

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