abc猜想

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abc猜想是一個未解決的數學猜想,最先由喬瑟夫·奧斯達利(Joseph Oesterlé)及大衛·馬瑟(David Masser)在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述,c是a及b的和,猜想因此得名。此猜想有數個宣稱的證明,最近提出的正在檢查中,至2014年9月此猜想仍然未得證明。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。

abc猜想若得證,數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996

內容[编辑]

對正整數n\operatorname{rad}(n)表示n質因數,稱為n根基(radical)。例如

\operatorname{rad}(98)=\operatorname{rad}(2 \cdot 7^2) = 14
\operatorname{rad}(3600)=\operatorname{rad}(2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2) = 30

若正整數a, b, c = a + b互質,「通常」會有c < rad(abc),例如:

a = 2, b = 7, c = 9\operatorname{rad}(abc) = 42 > c
a = 9, b = 16, c = 25\operatorname{rad}(abc) = 30 > c

但是也有反例,例如:

a = 3, b = 125, c = 128:因為125=5^{3}128=2^{7},故此\operatorname{rad}(abc) = 30 < c

如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除,使rad(abc) < c,是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。

abc猜想(一)

對於任何\varepsilon >0,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得
c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}

abc猜想也有以下等價的表述方式:

abc猜想(二)

對於任何\varepsilon >0,存在常數C_{\varepsilon}>0,使得對於互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,有:
 c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},

abc猜想第三個表述方式,用到了三元組(a, b, c)的品質(quality),定義為:

q(a,b,c)=\frac{\log(c)}{\log(\operatorname{rad}(abc))}

例如:

  • q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
  • q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

一般的互質正整數的三元組,通常有 rad(abc) > c,因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。

abc猜想(三)

對於任何\varepsilon > 0,只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c),c = a + b,使得
 q(a,b,c) > 1+\epsilon

abc猜想中的ε不能去掉,不然命題就不成立。考慮以下例子:

a_n = 3^{2^n} -1, b_n = 1, c_n = 3^{2^n}

這三個正整數互質,且有a_n+b_n=c_n。注意到a_n可被2^{n+2}整除,因此有

\operatorname{rad}(a_n b_n c_n) \le 3 \cdot 2 \cdot \frac {a_n}{2^{n+2}}= \frac {3 a_n}{2^{n+1}}:

因此

c_n > a_n \ge \frac {2^{n+1}}{3} \operatorname{rad}(a_n b_n c_n)

n趨向無限大時,\frac {2^{n+1}}{3}也趨向無限大。因此不存在常數C,使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。

可得出的結果[编辑]

如果abc猜想得證,那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果,在abc猜想提出後,已經以其他方法得到證明,一些則仍然為猜想。

理論結果[编辑]

abc猜想導出cabc的根基的接近線性函數的上界;不過,現在已知的是指數上界。確切結果如下:

c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) } Stewart & Tijdeman 1986),
c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) } Stewart & Yu 1991),
c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) } Stewart & Yu 2001).

上述的上界中,K1是不依賴a, b, c的常數,而K2K3是(以可有效計算的方式)依賴於ε的常數,但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。

計算結果[编辑]

2006年,荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作,開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統,目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有限個例子或反例不能解決abc猜想,但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式,可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。

下述的q是上節定義的品質

符合q > 1的三元組分佈[4]
  q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

截至2014年4月  (2014-04),ABC@Home找出23.8百萬個三元組,現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。[5]

已知之中最高品質的三元組[6]
  q a b c 發現者
1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger

歷史[编辑]

1996年,艾倫·貝克(Alan Baker)提出一個較為精確的猜想,將\operatorname{rad}(abc)\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)取代,在此\omegaa, b, c的不同質因數的數目。

2007年,呂西安·施皮羅嘗試給出證明,後來被發現有錯誤。[7]

2012年8月,日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明,以他建立的宇宙際泰赫米勒理論(inter-universal Teichmüller theory)為基礎[8][9][10]。該證明目前正由其他數學專家檢查中。[11]当Vesselin Dimitrov和Akshay Venkatesh在2012年10月发现一处错误时,望月新一在他的网站确认了此错误,并声称这个错误能够在近期修补,不会影响最后的结果[12]。2012年12月,望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月,他又屡次对文章进行了修订,新修正了18处错误,當中很多也是打字错误[13]。2013年12月,望月新一在網上公開了一份檢驗進度報告。[14]

參考[编辑]

  1. ^ http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf
  2. ^ Mollin (2009)
  3. ^ Mollin (2010) p.297
  4. ^ Synthese resultaten, RekenMeeMetABC.nl, [October 3, 2012]  (荷兰文).
  5. ^ Data collected sofar, ABC@Home, [April 30, 2014] 
  6. ^ 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 2010-11-07. 
  7. ^ "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See Woit, Peter, Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong, May 26, 2007 .
  8. ^ Mochizuki, Shinichi. Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. Working Paper. 2012-08. 
  9. ^ Ball, Phillip, Proof claimed for deep connection between primes, Nature, 10 September 2012 .
  10. ^ Cipra, Barry, ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot, Science, September 12, 2012 .
  11. ^ Proof claimed for deep connection between primes
  12. ^ Kevin Hartnett. An ABC proof too tough even for mathematicians. Boston Globe. 3 November 2012. 
  13. ^ 宇宙几何学家望月新一与ABC猜想 (故事续集)
  14. ^ On the verification of the inter-universal Teichmüller theory: a progress report (as of December 2013)

文獻[编辑]

連結[编辑]