Artin群

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提示:本条目的主题不是Artinian群

數學上,Artin群,或稱廣義辮群,是指有如下展示

\Big\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \Big| \langle x_i, x_j \rangle^{m_{i,j}}=\langle x_j, x_i \rangle^{m_{j,i}}, i,j\in \{1,2,\ldots, n\}, i\neq j \Big\rangle

其中

m_{i,j} = m_{j,i} \in \{2,3,\ldots, \infty\}.

m < \infty\langle x_i, x_j \rangle^m表示長度為mx_ix_j的交錯積,以x_i開首。例如:

\langle x_i, x_j \rangle^3 = x_ix_jx_i
\langle x_i, x_j \rangle^4 = x_ix_jx_ix_j

m=\infty,按慣例這表示x_ix_j間沒有關係。

在整數m_{i,j}中加入m_{i,i}=1,可以組成一個對稱矩陣,稱為這個群的考克斯特矩陣Coxeter matrix)。在Artin群中加入所有形為{x_i}^2=1的關係,得到的商群考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態,稱為純Artin群pure Artin group)。

Artin群的類[编辑]

辮群是Artin群的一種,其考克斯特矩陣為m_{i,i+1} = 3,及當|i-j|>1m_{i,j}=2

用Artin群的考克斯特矩陣,可以定義出數類重要的Artin群:

有限型Artin群[编辑]

M是有限型考克斯特矩陣,使對應的考克斯特群W = A(M)是有限群,那麼Artin群A = A(M)稱為有限型Artin群Artin group of finite type)。其「不可約型」標記為An , Bn = Cn , Dn , I2(n) , F4 , E6 , E7 , E8 , H3 , H4 。一個有限型純Artin群,可以表現為Cn中一個有限超平面配置補集基本群皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述,算出A中心上同調,及解出字問題共軛問題

直角Artin群[编辑]

若矩陣M中除對角線外的元素都是2或∞,則對應的Artin群稱為直角Artin群right-angled Artin group)。這類Artin群常用以下的方式標記:任何一個有n個頂點的 Γ,頂點標記為1, 2, …, n,都可定義一個矩陣M,其中若ijΓ中相連,則mij = 2,否則mij = ∞。與矩陣M對應的直角Artin群A(Γ)有n個生成元x1, x2, …, xn及關係

 x_i x_j = x_j x_i \quad ij\Gamma中相連。

直角Artin群包括了有限秩的自由群,對應無邊線的圖,及有限生成的自由阿貝爾群,對應完全圖。事實上每個秩為r的直角Artin群都是一個秩為r-1的直角Artin群的HNN擴張,兩個極端例子是自由積直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積graph product of groups)。直角Artin群是群的圖積的特例,其中每個頂點群都是秩1自由群(即無限循環群)。

Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形(nonpositively curved cubical complexK,其基本群是一個給定的直角Artin群A(Γ)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證,給出具有性質(FP2)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群[编辑]

若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中,對所有ij都有mi, j ≥ 3,稱這個群是大型(large type)的;若對所有ij都有mi, j ≥ 4,則稱這個群是超大型(extra-large type)的。

凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質,證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立,而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群,並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。

他們證明的定理為:

  1. G為超大型Artin或考克斯特群。若JI,則GJ有一個展示由考克斯特矩陣MJ定義,且GJG中的廣義字問題可解。若J, KIGJGK = G (JK).
  2. 超大型Artin群是無扭(即無有限目的元素)的。
  3. G為超大型Artin群,則集合{ai2 : iI}自由生成G的一個自由子群。
  4. 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。

參考[编辑]