BHK释义

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数理逻辑中,直覺主義邏輯布勞威爾-海廷-柯爾莫哥洛夫释义BHK释义是由魯伊茲·布勞威爾阿蘭德·海廷和独立的由安德雷·柯爾莫哥洛夫提出的。它有时也叫做可实现性释义,因为有关于斯蒂芬·科尔·克莱尼可实现性理论。

释义[编辑]

释义精确的陈述一个给定的公式的证明是什么。这是通过这个公式的在结构上归纳规定的:

  • P \wedge Q的证明是有序对<a,b>,这裡的a的P的一个证明而b是Q的一个证明。
  • P \vee Q的证明是有序对<a,b>,这裡的a是0而b是P的证明,或者a是1而b是Q的证明。
  • P \to Q的证明是函数f: P→Q,它把P的证明变换成Q的证明。
  • \exists x \in S : \phi(x)的证明是有序对<a,b>,这裡的a是S的一个元素,而b是φ(a)的一个证明。
  • \forall x \in S : \phi(x)的证明是函数f: a→φ(a),它把S的一个元素a变换成φ(a)的证明。
  • \neg P的证明被定义为P \to \bot,它的证明是把P的证明变换成\bot的证明的一个函数。
  • \bot是荒谬。应当没有它的证明。

假定从上下文获知原始命题的释义。

例子[编辑]

恒等函数是公式P \to P的证明,不管P是什么。

无矛盾律\neg (P \wedge \neg P)被展开为(P \wedge (P \to \bot)) \to \bot:

  • (P \wedge (P \to \bot)) \to \bot的证明是函数f,它把(P \wedge (P \to \bot))的证明变换成\bot的证明。
  • (P \wedge (P \to \bot))的证明是证明的有序对<a,b>,这裡的a是P的证明,而b是P \to \bot的证明。
  • P \to \bot的证明是把P的证明变换成\bot的证明的函数。

把它们放置到一起,(P \wedge (P \to \bot)) \to \bot的证明是函数f,它把有序对<a,b>变换成\bot的证明 -- 这裡的a是P的证明,而b是把P的证明变换成\bot的证明的一个函数。函数f(\langle a, b \rangle) = b(a)证明了无矛盾律,不管P是什么。

在另一方面,排中律P \vee (\neg P)展开为P \vee (P \to \bot),而一般没有证明。

什么是荒谬?[编辑]

逻辑系统不可能有形式否定算子,使得在没有P的证明的时候有正确的 非P的证明(参见哥德尔不完备定理)。BHK释义转而采纳 非P为意味着P导致荒谬,指示为\bot,所以¬P的证明是把P的证明变换成荒谬的证明的函数。

荒谬的标准例子可以在算术中找到。假定0=1,并进行数学归纳法:0=0通过等同公理得到;(归纳假设)如果0等于特定自然数n,则1将等于n+1 (皮亚诺公理Sm = Sn当且仅当m = n),但是因为0=1,所以0也等于n+1;通过归纳,0等于任何数,所以任何两个自然数都是相等的。

所以,有从0=1的证明得到任何基本算数等式和进而任何复杂算术命题的一种方式。进一步的说,要得到这种结果,不是必须的涉及皮亚诺公理0不是任何自然数的后继。这使得0=1在Heyting算术(皮亚诺公理被重写0=Sn → 0=S0)适合充当\bot。这种0=1的使用验证了爆炸原理

什么是函数?[编辑]

BHK释义依赖于制定把一个证明变换成另一个证明,或者把一个域的元素变换成一个证明的函数的观点。不同版本的数学构造主义在这一点上是有分歧的。

Kleene的可实现性理论把这种函数看成是可计算函数。它处理Heyting算术,这裡的量化的域是自然数而原始命题有x=y的形式。x=y的证明简单是平凡的算法,如果x求值得到与y求值同样的数(它对于自然数总是可决定的),否则没有证明。可以通过归纳建造起更复杂的算法。

引用[编辑]

  • Troelstra, A. "History of Constructivism in the Twentieth Century". 1991. [1]
  • Troelstra, A. "Constructivism and Proof Theory". 2003. [2]

参见[编辑]