Batcher归并网络

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基本术语[编辑]

Batcher排序网络是由一系列Batcher比较器(Batcher's Comparator)组成的。Batcher比较器是指在两个输入端给定输入x,y,再在两个输出端输出最大值max{x,y}和最小值min{x,y}。

比较器网络是用Batcher比较器连成的完成某一功能的网络。

所谓双调序列(Bitonic Sequence)是指由一个非严格增序列X和非严格减序列Y(其中X的最小元素正好是Y的最大元素)构成的序列,比如序列(23,10,8,3,5,7,11,78)。

定义:一个序列a1,a2,…,an是双调序列(Bitonic Sequence),如果:

  1. 存在一个ak(1≤k≤n),使得a1≥…≥ak≤…≤an成立;或者
  2. 序列能够循环移位满足条件(1)

奇偶归并网络[编辑]

输入两个已排好序的序列,对这两个序列进行归并排序,在串行算法中的时间复杂度为O(n)。在并行计算中可以用奇偶归并算法来实现的。以输入的两个4元素有序序列为A和B为例,首先将这两个序列进行逆洗牌(Unshuffle)得到两个序列:其中一个是由A,B中奇数号元素组成的序列,记作奇序列OM,另一个则是由A,B中偶数号元素组成的序列,记作偶序列序列EM。接着将OM送入(2,2)奇归并器中,将EM送入(2,2)偶归并器中。于是得到一组有序的奇序列和一组有序偶序列。最后除了奇序列一个元素之外将这两个序列进行洗牌(Shuffle)比较操作即可得到一个有序序列。

算法的递归性:一个n阶的归并器是由两个n/2阶的归并器加一个洗牌比较网络构成的。比如上面的两个(2,2)归并器和最后的洗牌比较网络就构成了一个(4,4)的归并器。

一个四阶奇偶归并的例子:假设归并前的的序列是(1,5,7,6)和(2,3,4,9),那么第一次操作就将(1,2,7,4)送入(2,2)归并器中归并,得到结果为(1,2,4,7);(5,3,6,9)送入(2,2)归并器中归并,得到结果为(3,5,6,9),接着将这两个排号序的序列进行洗牌比较:(1,3<->2,5<->4,6<->7,9)=>(1,2,3,4,5,6,7,9)。

可以证明这个算法是正确的,我们要用到高德纳(Donald Ervin Knuth)的0-1原理,我们发现,对于输入的任意两个有序的0,1序列,奇序列与偶序列正好相差0个,1个或2个0。由于奇序列的第一个元素不参与最后的洗牌比较,所以参与比较的0,1数偶只有0个或1个,所以对0,1序列一定能够得到正确的排序。故而对任意的序列,奇偶归并网络可以产生正确的排序。

双调归并网络[编辑]

双调归并网络是基于Batcher定理而构建的。Batcher定理是说将任意一个长为2n的双调序列A分为等长的两半X和Y,将X中的元素与Y中的元素一一按原序比较,即a_ia_{i+n}(i\le n)比较,将较大者放入MAX序列,较小者放入MIN序列。则得到的MAX和MIN序列仍然是双调序列,并且MAX序列中的任意一个元素不小于MIN序列中的任意一个元素。

根据这个原理,我们可以将一个输入的n元素双调序列首先通过洗牌比较操作得到一个MAX序列和一个MIN序列,然后通过两个n/2阶双调归并器处理就可以得到一个有序序列。

这个算法也是递归的,因为n阶的双调归并器是由一个洗牌比较网络两个n/2阶的双调归并器组成的。

参阅[编辑]