C*-代数

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C*-代数(或读作“C星代数”)是数学分支中泛函分析的重要研究对象。C*-代数的典型例子是满足以下两个性质的希尔伯特空间线性算子代数A

一般认为C*-代数主要是应用在量子力学可观察量模型代数中。这方面的研究始于1933年左右维尔纳·海森堡创立的矩阵力学以及帕斯库尔·约当研究的更接近数学的形式。之后冯·诺依曼在他的一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的架构。这些论文可看做是一类特殊的C*-代数 ,现在称为冯·诺依曼代数

1943年前后,伊斯拉埃爾·蓋爾范德马可·奈马克对C*-代数建立了不依赖于算子的抽象刻画。

在当代数学研究中,C*-代数是局部紧群的酉表示理论中的重要工具,同时在量子力学的代数架构中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单核C*-代数的分类以及确定分类的详细可能性。

抽象刻画[编辑]

此处给出蓋爾范德和奈马克在1943年给出的定义。

C*-代数A是复数域上的巴拿赫代数以及映射* : AA(称为对合映射)的组合。A中元素x关于对合映射* 的像写作x*。对合映射拥有下列性质

  • A中任意的两个元素xy
(x + y)^* = x^* + y^*
(x y)^* = y^* x^*
  • C中任意复数\lambda以及A中任一元素x
(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^*
  • A中任一元素x
(x^*)^* = x
  • C*–恒等映射A中任一元素x成立:
  \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|
C*–恒等映射性质等价于
  \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|

这个关系等价于  \|x x^* \| = \|x\|^2 ,有时亦称为B*–恒等映射

C*–恒等映射是一个很强的约束条件。举例来说,C*–恒等映射和谱半径公式可以推出C*–范数由以下代数结构唯一确定:

 \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1不可逆 \}

给定的从C*-代数A射到B有界线性算子π : AB被称为*-同态,如果

  • A中任意的两个元素xy
 \pi (x y) = \pi (x) \pi (y)
  • A中任一元素x
 \pi(x^*) = \pi (x)^*

参考来源[编辑]

  • Arveson, W., An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90176-0 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.
  • Connes, Alain, Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X . This book is widely regarded as a source of new research material, providing much supporting intuition, but it is difficult.
  • Dixmier, Jacques, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969, ISBN 0-7204-0762-1 . This is a somewhat dated reference, but is still considered as a high-quality technical exposition. It is available in English from North Holland press.
  • Doran, Robert S.; Belfi, Victor A., Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, 1986, ISBN 9780824775698 .
  • Emch, G., Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972, ISBN 0-471-23900-3 . Mathematically rigorous reference which provides extensive physics background.
  • A.I. Shtern, C* algebra// (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社, 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Sakai, S., C*-algebras and W*-algebras, Springer, 1971, ISBN 3-540-63633-1 .
  • Segal, Irving, Irreducible representations of operator algebras, Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53 (2): 73–88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5 .C*-algebra