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Chirp-Z轉換

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Chirp-Z轉換(Chirp-Z transform)是一種適合於計算當取樣頻率間隔sampling frequency interval)與取樣時間間隔sampling time interval)乘積的倒數不等於信號的時頻分佈面積時的演算法,其為利用摺積來實現任意大小的離散傅立葉變換DFT)的快速傅立葉變換演算法。

演算法[编辑]

離散信號x_n的離散傅立葉變換可以寫成下列的形式

 X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk }
\qquad
k = 0,\dots,N-1.

其中e^{-\frac{2\pi i}{N} nk }\qquad這項的 nk 可以利用平方式展開得到,如下式所示

(n-k)^2 = n^2-2nk+k^2\Rightarrow nk=-\frac{(n-k)^2-n^2-k^2}{2}

所以

e^{-\frac{2\pi i}{N} nk}=e^{\frac{2\pi i}{N} \frac{(n-k)^2-n^2-k^2}{2}} = e^{\frac{\pi i}{N}(n-k)^2} e^{-\frac{\pi i}{N}n^2} e^{-\frac{\pi i}{N} k^2}

而將此平方展開式帶回原式我們可以得到

 X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} nk } = e^{-\frac{\pi i}{N} k^2}\sum_{n=0}^{N-1} ( x_n e^{-\frac{\pi i}{N}n^2} )e^{\frac{\pi i}{N}(n-k)^2}
\qquad
k = 0,\dots,N-1.

因此離散信號 x_n 的離散傅立葉變換現在可以分成三個步驟來實現:

  • STEP 1:對於信號x_n的每一個取樣點都乘上 e^{-\frac{\pi i}{N}n^2}
  • STEP 2:接著再與e^{\frac{\pi i}{N}n^2}做線性回旋積分
  • STEP 3:最後乘上e^{-\frac{\pi i}{N}k^2}

如此即可得到不同頻率成分的X_k

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
  • http://cnx.org/content/m12013/latest/