De Casteljau算法

数学子领域数值分析中的de Casteljau算法（德·卡斯戴尧算法），以发明者保尔·德·卡斯戴尧命名，是计算伯恩斯坦形式的多项式或貝茲曲線的递归方法。

虽然对于大部分的体系结构，该算法和直接方法相比较慢，但它在数值上更为稳定。

定义

以n次波恩斯坦形式给定一个多项式B，

$B(t) = \sum_{i=0}^{n}\beta_{i}b_{i,n}(t)$

即多項式

$\mathbf{b}_{i,n}(t) = {n\choose i} t^i (1-t)^{n-i},\quad i=0,\ldots n$

定義0⁰ = 1。

在点t₀的多项式可以用递归关系来计算

$\beta_i^{(0)} := \beta_i \mbox{ , } i=0,\ldots,n$

$\beta_i^{(j)} := \beta_i^{(j-1)} (1-t_0) + \beta_{i+1}^{(j-1)} t_0 \mbox{ , } i = 0,\ldots,n-j \mbox{ , } j= 1,\ldots n$

最后

$B(t_0)=\beta_0^{(n)}$.

注意事项

进行手算时把系数写成三角形形式很有用。

$\begin{matrix} \beta_0 & = \beta_0^{(0)} & & & \\ & & \beta_0^{(1)} & & \\ \beta_1 & = \beta_1^{(0)} & & & \\ & & & \ddots & \\ \vdots & & \vdots & & \beta_0^{(n)} \\ & & & & \\ \beta_{n-1} & = \beta_{n-1}^{(0)} & & & \\ & & \beta_{n-1}^{(1)} & & \\ \beta_n & = \beta_n^{(0)} & & & \\ \end{matrix}$

当选择一点t₀来计算波恩斯坦多项式时，我们可以用三角形形式的两个对角线来构造多项式的分段表示。

$B(t) = \sum_{i=0}^n \beta_i^{(0)} b_{i,n}(t) \qquad \mbox{ , } \in [0,1]$

把它变成

$B_1(t) = \sum_{i=0}^n \beta_0^{(i)} b_{i,n}\left(\frac{t}{t_0}\right) \qquad \mbox{ , } \in [0,t_0]$

以及

$B_2(t) = \sum_{i=0}^n \beta_{n-i}^{(i)} b_{i,n}\left(\frac{t-t_0}{1-t_0}\right) \qquad \mbox{ , } \in [t_0,1]$

例子

我们要计算2次波恩斯坦多项式，其伯恩斯坦系数为

$\beta_0^{(0)} = \beta_0$

$\beta_1^{(0)} = \beta_1$

$\beta_2^{(0)} = \beta_2$

在t₀点计算。

我们有下式开始递归

$\beta_0^{(1)} = \beta_0^{(0)} (1-t_0) + \beta_1^{(0)}t = \beta_0(1-t_0) + \beta_1 t_0$

$\beta_1^{(1)} = \beta_1^{(0)} (1-t_0) + \beta_2^{(0)}t = \beta_1(1-t_0) + \beta_2 t_0$

递归的第二次重复结束于

$\begin{matrix} \beta_0^{(2)} & = & \beta_0^{(1)} (1-t_0) + \beta_1^{(1)} t_0 \\ \ & = & \beta_0(1-t_0) (1-t_0) + \beta_1 t_0 (1-t_0) + \beta_1(1-t_0)t_0 + \beta_2 t_0 t_0 \\ \ & = & \beta_0 (1-t_0)^2 + \beta_1 2t_0(1-t_0) + \beta_2 t_0^2 \\ \end{matrix}$

这就是我们所预料的n阶伯恩斯坦多项式。

貝茲曲線

在计算带n+1个控制点P_i的三维空间中的n次貝茲曲線 (Bézier curve) 时

$\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{P}_i b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$

其中

$\mathbf{P}_i := \begin{pmatrix} x_i \\ y_i \\ z_i \end{pmatrix}$.

我们把Bézier曲线分成三个分立的方程

$B_1(t) = \sum_{i=0}^{n} x_i b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$

$B_2(t) = \sum_{i=0}^{n} y_i b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$

$B_3(t) = \sum_{i=0}^{n} z_i b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]$

然后我们用de Casteljau算法分别计算。

伪代码例子

这是一个递归的画出一条从点P1到P4，弯向P2和P3的曲线的伪代码例子。级数参数是递归的次数。该过程用增加了的级数参数来递归的调用它自己。当级别达到最大级别这个全局变量时，在P1和P4之间就画上直线。函数中点（midpoint）去两个点，并返回这两点间的线段的中点。

    global max_level = 5
    procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)
        if (level > max_level)
            draw_line(P1, P4)
        else
            L1 = P1
            L2 = midpoint(P1, P2)
            H  = midpoint(P2, P3)
            R3 = midpoint(P3, P4)
            R4 = P4
            L3 = midpoint(L2, H)
            R2 = midpoint(R3, H)
            L4 = midpoint(L3, R2)
            R1 = L4
            draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)
            draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)
    end procedure draw_curve

示范实现

Haskell

用线性插值计算P和Q之间的一点R，插值参数为t
用法：linearInterp P Q t
          P = 代表一个点的表
          Q = 代表一个点的表
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
返回：代表点（1-t）P + tQ的表
 
>       linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float]
>       linearInterp [] [] _ = []
>       linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t
 
计算一对控制点间的线性插值的中间结果
用法：eval t b
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
          b = 控制点的表
返回：对n个控制点，返回n-1个插值点的表
 
>       eval :: Float->[[Float]]->[[Float]]
>       eval t（bi:bj:[]）= [linearInterp bi bj t]
>       eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)
 
用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点
用法：deCas t b
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
          b = 控制点的表
返回：代表Bezier曲线上一个点的列表
 
>       deCas :: Float->[[Float]]->[Float]
>       deCas t（bi:[]）= bi
>       deCas t bs = deCas t (eval t bs)
 
用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。
用法：bezierCurve n b
         n = 要计算的点的个数
         b = Bezier控制点列表
返回：Bezier曲线上n＋1个点
例子：bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0]，[1,1]，[0,1]，[1,0]]</nowiki>
 
>       bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]]
>       bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ]

Python

（该代码用到Python图像库）

import Image
import ImageDraw
 
SIZE=128
image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE))
d = ImageDraw.Draw(image)
 
def midpoint((x1, y1), (x2, y2)):
    return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
 
MAX_LEVEL = 5
def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1):
    if level == MAX_LEVEL:
        d.line((P1, P4))
    else:
        L1 = P1
        L2 = midpoint(P1, P2)
        H  = midpoint(P2, P3)
        R3 = midpoint(P3, P4)
        R4 = P4
        L3 = midpoint(L2, H)
        R2 = midpoint(R3, H)
        L4 = midpoint(L3, R2)
        R1 = L4
        draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1)
        draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1)
 
draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100))
 
image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG")
 
print "ok."

参考

• Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3

参看

• Horner法：计算单项式形式多项式
• Clenshaw算法：计算切比雪夫形式多项式