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Delta位勢阱

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量子力學裏,Delta位勢阱是一個內位勢為負狄拉克Delta函數,阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討,在這種位勢的作用中,一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若,粒子的能量是正值的,我們想要知道的是,在被Delta位勢壘散射的狀況下,粒子的反射係數透射係數。假若,粒子的能量是負值的,這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時,我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

定義[编辑]

對於一個 Delta 位勢阱的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數反射係數行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間薛丁格方程

- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\psi(x)= E\psi(x)\,\!

其中,\hbar\,\!約化普朗克常數m\,\!是粒子質量,x\,\!是粒子位置,E\,\!是能量,\psi(x)\,\!波函數V(x)\,\!是位勢,表達為

V(x)= - \lambda\delta(x)\,\!

其中,\delta(x)\,\!狄拉克Delta函數\lambda\,\!是狄拉克Delta函數的強度。

導引[编辑]

這位勢阱將一維空間分為兩個區域: x<0\,\!x>0\,\! 。在任何一個區域內,位勢為常數,薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加(參閱自由粒子):

\psi_L(x)= A_r e^{i k x} + A_l e^{-ikx}\quad x<0 \,\!
\psi_R(x)= B_r e^{i k x} + B_l e^{-ikx}\quad x>0\,\!

其中,A_r\,\!A_l\,\!B_r\,\!B_l\,\! 都是必須由邊界條件決定的常數,下標 r\,\!l\,\! 分別標記波函數往右或往左的方向。k=\sqrt{2m E/\hbar^{2}}\,\!波數

E>0\,\! 時,\psi_L\,\!\psi_R\,\! 都是行進波。可是,當 E<0\,\! 時,\psi_L\,\!\psi_R\,\! 都隨著座標 x\,\! 呈指數遞減或指數遞增。

x=0\,\!处 ,邊界條件是:

\psi_L=\psi_R\,\!
\frac{d}{dx}\psi_L = \frac{d}{dx}\psi_R - \frac{2m\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\!

特別注意第二個邊界條件方程式,波函數隨位置的導數在 x=0\,\! 並不是連續的,在位勢阱兩邊的差額有 \frac{2\lambda}{\hbar^2} \psi_R\,\! 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於 x=0\,\! 的一個非常小的鄰域:

 - \frac{\hbar^2}{2 m} \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \frac{d^2 \psi}{d x^2}\, dx + \int_{ - \epsilon}^{\epsilon}V(x) \psi \, dx = E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx\,\!(1)

其中,\epsilon\,\! 是一個非常小的數值。

方程式 (1) 右邊的能量項目是

E \int_{ - \epsilon}^{\epsilon} \psi \, dx \approx E \cdot 2 \epsilon \cdot \psi(0)\,\!(2)

\epsilon \to 0\,\! 时,该項趋向于0。

方程式 (1) 左邊是

 - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon} - \frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon} \right) + \lambda\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx = 0\,\!(3)

根據狄拉克 Delta 函數的定義,

\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\delta(x) \psi \, dx =\psi_R(0)\,\!(4)

而在 \epsilon \to 0\,\! 的極限,

\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_{ - \epsilon}=\frac{d\psi_L}{dx}\bigg|_0\,\!(5)
\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_{\epsilon}=\frac{d\psi_R}{dx}\bigg|_0\,\!(6)

將這些結果 (4) ,(5) ,(6) 代入方程式 (3) ,整理后,可以得到第二個邊界條件方程式:在 x=0\,\!

\frac{d\psi_L}{dx}=\frac{d\psi_R}{dx}- \frac{2m\lambda}{\hbar^2}\psi_R\,\!

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算,可以得到以下方程式:

A_r+A_l=B_r+B_l\,\!
ik(A_r - A_l - B_r+B_l)=\frac{2m\lambda}{\hbar^2}(B_r+B_l)\,\!

散射態[编辑]

一個 Delta 位勢阱的反射係數 R\,\!(用紅線表示)與透射係數 T\,\!(用綠線表示)隨著能量 E\,\! 的變化。在這裏,能量 E>0\,\! 。能量的單位是 \frac{\lambda^2}{2m\hbar^2}\,\! 。經典力學的答案用虛線表示,量子力學的答案用實線表示。

假若,能量是正值的,粒子可以自由的移動於 位勢阱外的兩個半空間,x<0\,\!x>0\,\! 。在這裏,粒子的量子行為主要是由 Delta 位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態散射態。設定粒子從左邊入射。在 Delta 位勢阱,粒子可能會被反射回去,或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數透射係數。設定 A_r=1\,\!A_l=r\,\!B_l=0\,\!B_r=t\,\! 。求算反射的機率幅 r\,\! 與透射的機率幅 t\,\!

r= -\ \cfrac{1}{\cfrac{i\hbar^2 k}{m\lambda} + 1}\,\!
t=\cfrac{1}{ - \ \cfrac{i m\lambda}{\hbar^2k}+1}\,\!

反射係數是

R=|r|^2=\cfrac{1}{1+\cfrac{\hbar^4k^2}{m^2\lambda^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{2\hbar^2 E}{m\lambda^2}}\,\!

這純粹是一個量子力學的效應;在經典力學裏,這是不可能發生的。

透射係數是

T=|t|^2=1 - R=\cfrac{1}{1+\cfrac{m^2\lambda^2}{\hbar^4k^2}}= \cfrac{1}{1+\cfrac{m\lambda^2}{2\hbar^2 E}}\,\!
  • 由於模型的對稱性,假若,粒子從右邊入射,我們也會得到同樣的答案。
  • 很奇異地,給予同樣的能量、質量、與狄拉克 Delta 函數的強度,Delta 位勢壘與 Delta 位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

束縛態[编辑]

Delta 位勢阱的束縛態,在任何一個位置,波函數都是連續的;可是,除了在 x=0\,\! 以外,在其它任何位置,波函數隨位置的導數都是連續的。

每一個一維的吸引位勢,都至少會存在著一個束縛態bound state)。由於 E<0\,\! ,波數變為複數。設定 \kappa= - ik=\sqrt{2m |E|/\hbar^2}\,\! 。前述的振盪的波函數 \psi_L\,\!\psi_R\,\! ,現在卻隨著座標 x\,\! 呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性,我們要求波函數不發散x\to\pm \infty\,\! 。那麼, A_r\,\!B_l\,\! 必須被設定為 0 。波函數變為

\psi_L(x)=  A_l e^{\kappa x}\,\!
\psi_R(x)= B_r e^{ - \kappa x}\,\!

從邊界條件與歸一條件,可以得到

A_l=B_r=\sqrt{\kappa}\,\!
\kappa=\frac{m\lambda}{\hbar^2}\,\!

Delta 位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是

E= -\ \frac{\hbar^2\kappa^2}{2m}= -\ \frac{m\lambda^2}{2\hbar^2}\,\!

束縛態的波函數是

\psi(x)= \frac{\sqrt{m\lambda}}{\hbar}e^{ - m\lambda\mid x\mid /\hbar^2}\,\!

Delta 位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度 V_0\to\infty\,\! 與阱寬 L\to 0\,\! 的極限,同時保持 V_0 L=\lambda\,\! ,就可以從有限深位勢阱的波函數,得到 Delta 位勢阱的波函數。

Delta 函數模型 其實是 氫原子的一維版本 根據 維度比例 由 达德利·赫施巴赫(“Dudley R. Herschbach”)[1] 團隊所研發 此 delta 函數 模型以 雙井 迪拉克 Delta 函數模型 最有用 因其代表一維版的 水分子離子 如以下章節 所述.

雙井迪拉克Delta函數模型[编辑]

当核间距R=2时,双势井狄拉克Delta函数模型中的对称与反对称的波函数

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}(x) +V(x)\psi(x) = E\psi(x)

電位現為:

V(x)=-q \left[ \delta (x - \frac{R}{2}) + \lambda \delta (x+ \frac{R}{2}) \right]

其中  0 < R < \infty 是「核間」距離於迪拉克Delta函數(負)峰值位於  x= \pm {\textstyle \frac{R}{2}} (圖表中棕色所示)。記得此模型與其三維分子版本的關係,我們用原子单位制且設 \hbar = m=1。此處  0 < \lambda < 1 為一可調參數。從單井的例子,可推論擬設於此解為:

 \psi (x) ~ = ~ A e^{-d \left|x - \frac{R}{2}\right|} + B e^{-d \left|x + \frac{R}{2}  \right|}

令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式


\left| \begin{array}{cc} q - d & q e^{-d R} \\  q \lambda e^{-d R} & q \lambda - d \end{array} \right| = 0 ~,
\qquad  E = -\frac{d^2}{2} ~.

因此, d 是由偽二次式方程:


d_{\pm} (\lambda )~=~{\textstyle\frac{1}{2}}q (\lambda+1) 
\pm {\textstyle\frac{1}{2}}
\left\{ q^2 (1+\lambda )^{2}-4\,\lambda q^2 \lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda
)R}]\right\} ^{1/2}

它有兩解 d=d_{\pm} 。若等價情況(對稱單核),\lambda =1 則偽二次式化為:


d_{\pm} = q [1 \pm e^{-d_{\pm} R}]

此「+」代表了對稱於中點的波函數(圖中紅色)而 A = B 稱為偶態。接著,「-」情況為反對稱於中點的波函數其 A = -B 稱為非偶態(圖中綠色)。它們代表著三維 H_2^{+} 的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為[2]


d_{\pm} = q ~+~ W (\pm q R e^{-q R} )/R

其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解 d_{+}。當非等電價,此為三維分子問題,其解為一般化Lambert W函數(見一般化朗伯W函数章節與相關參考)。

外部链接[编辑]

  1. ^ D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992). [1]
  2. ^ T.C. Scott, J.F. Babb, Alexander Dalgarno and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]

參閱[编辑]