E (数学常数)

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

e 是在 x=0 点上 f (x)=e^x（蓝色曲线）的导数（切线的斜率）值为1的唯一的一个数。对比一下，函数2^x（虚点曲线）和4^x（虚线曲线）和斜率为1的直线（红色）并不相切。

$e$，作为數學常數，是自然對數函數的底數。有時稱它為歐拉數（Euler's number），以瑞士數學家歐拉命名；也有個較鮮見的名字納皮爾常數，以紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它的數值約是（小數點後20位）：

$e = 2.71828182845904523536\cdots$

就像圓周率$\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$和虛數單位 i，$\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部份：

定義

最常見的四種 e 的定義如下：

1. 定義 e 爲下列極限值：

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。

2. 定義 e 爲下列無窮級數之和：

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$，

其中 n! 代表 n 的階乘。

3. 定義 e 爲唯一的正數 x 使得

$\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}$。

4. 定義 e 爲唯一的實數 x 使得

$\lim_{h\to 0}\frac{x^h-1}{h}=1$

這些定義可證明是等價的。

性質

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 $e^{x}$ 的重要性，在於它是唯一的函數（零多項式函數除外）與自身導數相等（乘以常數，最一般的函數形式為 $ke^{x}$ ，k 為任意常數）。

$\frac{d\left( e^x \right)}{d x}=e^x$。

• $\ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...$
• $\ \frac{d\left( e^x \right)}{d x} = \not{0} + 1 \cdot \not{x^{0}} + \frac{\not{2}x^{1}}{\not{2} \cdot 1} + \frac{\not{3}x^{2}}{\not{3} \cdot 2 \cdot 1} + ...$

e 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。它出現在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式中：

$e^{\mathrm{i}x} = \cos x + {\rm i}\sin x \,\!$。

當$x = \pi$的特例是歐拉恆等式：

$e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 \,\!$，

這式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

另外，当$x = e$时函數$f(x) = \sqrt[x]{x}$有最大值。

e 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下：

$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,\ldots] \,$。

無理數證明

反證法

證明 e 是無理數可以用反證法。假設 e 是有理數，則可以表示成 a/b，其中 a,b 為正整數。以 e 的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

$x = b\,! \left(e-\sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)$，

以下將推導出$x$是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證$e$是無理數。

• $x$是整數，因為

$0 < x = b\,! \left(e - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right) = b\,! \left({a \over b} - \sum_{i=0}^b {1 \over i\,!}\right)$

$= a (b-1)! - \sum_{i=0}^b {b\,! \over i\,!}$

$= a (b-1)! - \left(1 + \sum_{n=0}^{b-1} b(b-1)\cdots(n+1)\right)$。

• $x$是小於1的正數，因為

$0 < x = b\,! \sum_{n=b+1}^\infty {1 \over n!}$

$= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$

$< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = {1 \over b} < 1$。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出$e$為無理數。

二項式定理

視$n$為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

$\begin{align} e & = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ & =\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left(\frac{1}{n}\right)^i \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[C_{0}^{n}1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^0+C_{1}^{n}1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^1+C_{2}^{n}1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^2+C_{3}^{n}1^{n-3}\left(\frac{1}{n}\right)^3+...+C_{n}^{n}1^0\left(\frac{1}{n}\right)^n\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{\left(n-3\right)!3!}\times \frac{1}{n^3}+...+1\times \frac{1}{n^n}\right] \\ & =\lim_{n\to\infty} \left[1+1+\frac{n\times \left(n-1\right)}{2n^2}+\frac{n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^3}+...+\frac{1}{n^n}\right] \\ & =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+0 \\ & =2.71828... \end{align}$

歷史

第一次提到常數$e$，是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為是由威廉·奧特雷德（William Oughtred）製作。第一次把e看為常數的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他嘗試計算下式的值：

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。

已知的第一次用到常數$e$，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以b表示。1727年歐拉開始用$e$來表示這常數；而$e$第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母c表示，但$e$較常用，終於成為標準。

用e表示的確實原因不明，但可能因為$e$是「指數」（exponential）一字的首字母。另一看法則稱a，b，c和d有其他經常用途，而$e$是第一個可用字母。

諧取

• 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的$e$十億美元。（顺便一提，Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关）
• Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在e的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個$e$中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
• 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的版本號碼趨向$e$（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等）。

已知位数

e的已知位数

日期	位数	计算者
1748年	18	Leonhard Euler
1853年	137	William Shanks
1871年	205	William Shanks
1884年	346	J. M. Boorman
1946年	808	?
1949年	2,010	John von Neumann
1961年	100,265	Daniel Shanks & John W. Wrench
1978年	116,000	Stephen Gary Wozniak
1994年	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月	18,199,978	Patrick Demichel
1997年8月	20,000,000	Birger Seifert
1997年9月	50,000,817	Patrick Demichel
1999年2月	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
1999年10月	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000年7月10日	2,147,483,648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年7月16日	3,221,225,472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2000年8月2日	6,442,450,944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2000年8月16日	12,884,901,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年8月21日	25,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003年9月18日	50,100,000,000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2007年4月27日	100,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2009年5月6日	200,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
2010年2月21日	500,000,000,000	Alexander J. Yee
2010年7月5日	1,000,000,000,000	Shigeru Kondo & Alexander J. Yee

参见

• 无理数
• 超越数
• 欧拉数
• 圆周率