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F-分布

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F分布
F pdf.svg
概率密度函數
F dist cdf.svg
累積分佈函數
參數 d_1>0,\ d_2>0自由度
支撑集 x \in [0; +\infty)\!
概率密度函數 \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
累積分佈函數 I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
期望值 \frac{d_2}{d_2-2}\! for d_2 > 2
眾數 \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! for d_1 > 2
方差 \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\! for d_2 > 4
偏度 \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!
for d_2 > 6
峰度 见下文

概率论统计学里,F-分布F-distribution)是一种连续概率分布[1][2][3][4]被广泛应用于似然比率检验,特别是ANOVA中。

定义[编辑]

如果随机变量 X 有参数为 d1d2F-分布,我们写作 X ~ F(d1, d2)。那么对于实数 x ≥ 0,X概率密度函数 (pdf)是

 
\begin{align}
f(x; d_1,d_2) &= \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}} {(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\
&=\frac{1}{\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{\frac{d_1}{2}} x^{\frac{d_1}{2} - 1} \left(1+\frac{d_1}{d_2}\,x\right)^{-\frac{d_1+d_2}{2}}
\end{align}

这里\mathrm{B}B函数。在很多应用中,参数 d1d2正整数,但对于这些参数为正实数时也有定义。

累积分布函数

F(x; d_1,d_2)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}\left (\tfrac{d_1}{2}, \tfrac{d_2}{2} \right) ,

其中 I正则不完全贝塔函数

右边表格中已给出期望值方差偏度;对于d_2>8峰度为:

\gamma_2 = 12\frac{d_1(5d_2-22)(d_1+d_2-2)+(d_2-4)(d_2-2)^2}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}.

特征[编辑]

一个F-分布的随机变量是两个卡方分布变量的比率:


\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}
=
\frac{U_1/U_2}{d_1/d_2}

其中:

  • U1U2卡方分布,它们的自由度(degree of freedom)分别是d1d2
  • U1U2是相互独立的。

参考文献[编辑]

  1. ^ Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (Second Edition, Section 27). Wiley. 1995. ISBN 0-471-58494-0. 
  2. ^ Template:Abramowitz Stegun ref
  3. ^ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook – F Distribution
  4. ^ Mood, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes. Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, pp. 246–249). McGraw-Hill. 1974. ISBN 0-07-042864-6.