F-分布

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F分布
參數 d_1>0,\ d_2>0自由度
支撑集 x \in [0; +\infty)\!
概率密度函數 \frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)^{d_1}\,\,d_2^{d_2}}
{(d_1\,x+d_2)^{d_1+d_2}}}}
{x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!
累積分佈函數 I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!
期望值 \frac{d_2}{d_2-2}\! for d_2 > 2
眾數 \frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\! for d_1 > 2
方差 \frac{2\,d_2^2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)^2 (d_2-4)}\! for d_2 > 4
偏度 \frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!
for d_2 > 6
峰度 见下文

概率论统计学里,F-分布F-distribution)是一种连续概率分布,被广泛应用于似然比率检验,特别是ANOVA中。 一个F-分布的随机变量是两个卡方分布变量的比率:


\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}
=
\frac{U_1/U_2}{d_1/d_2}

其中:

  • U1U2卡方分布,它们的自由度(degree of freedom)分别是d1d2
  • U1U2是相互独立的。

右边表格中已给出期望值方差偏度;对于d_2>8峰度为:

\frac{12(20d_2-8d_2^2+d_2^3+44d_1-32d_1d_2+5d_2^2d_1-22d_1^2+5d_2d_1^2-16)}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)}

实数x ≥ 0的情况下,呈Fd1, d2)分布的随机变量的机率密度函数是:

 g(x) = \frac{1}{\mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)} \; \left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)^{d_2/2} \; x^{-1}

其中d1d2正整数,B是Beta函数(beta function)。

累积分布函数为:

 G(x) = I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)

I是不完全Beta函数。

F分配定義式[编辑]


F\left(U_1 , U_2 \right)
=
\frac
  {\frac
       {\chi^2 \left( U_1 \right)}
       {U_1}
  }
  {\frac
       {\chi^2 \left( U_2 \right)}
       {U_2}
  }
\sim
F\left(U_1 , U_2 \right)