描述J-inv-poincare.jpeg	Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)
日期	2005年5月22日, 01:30 (原始上传日期)
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作者	en:user:Linas
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原始上传日志

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Klein's J-invariant, modulus on Poincaré disk (600x600 pixels)

Detailed description

This image shows the modulus |j| of the J-invariant ${\displaystyle j=g_{2}^{3}/\Delta }$ as a function on the Poincare disk. The Poincaré disk is a mapping of the upper half-plane to the unit disk by means of the Mobius transformation

${\displaystyle z={\frac {\tau -i}{\tau +i}}}$

where τ is the half-period ratio, that is, the coordinate on the upper half-plane. The left-right symmetry of this image corresponds to the ${\displaystyle \tau \to -1/\tau }$ symmetry of the J-invariant, as small values for the imaginary part of τ are mapped to z=−1 on the left hand side, while large values for the imaginary part of τ are mapped to z=+1 on the right side. The fundamental domain is a triangle spanning the two vertically oriented dots in the center, with the cusp at z=+1 on the right. The transformation ${\displaystyle \tau \to \tau +1}$ corresponds to walking the fundamental domain from dot to dot on the boundary of the largest red area on the right; the cusp z=+1 remains unchanged.

For a detailed description of other aspects of this picture, including the coloration, please refer to Image:J-inv-modulus.jpeg.

• See also Image:J-inv-real.jpeg for the real part.
• See also Image:J-inv-phase.jpeg for the phase.

It, and other related images, can be seen at http://www.linas.org/art-gallery/numberetic/numberetic.html

Source of Image

Created by Linas Vepstas User:Linas <linas@linas.org> on 21 May 2005 using custom software written entirely by Linas Vepstas.

Copyright status

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Relevant Links

• Weierstrass elliptic functions
• Eisenstein series
• Q-series