Gross-Pitaevskii方程

Gross–Pitaevskii 方程（以Eugene P. Gross命名与Lev Petrovich Pitaevskii) 描述了全同玻色子量子体系的基态，其中使用了Hartree-Fock近似与赝势相互作用模型。

在Hartree-Fock近似中，$N$个玻色子体系的总波函数$\Psi$为单粒子波函数$\psi$之积

$\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\psi(\mathbf{r}_1)\psi(\mathbf{r}_2)\dots\psi(\mathbf{r}_N)$

其中$\mathbf{r}_i$为第$i$个玻色子的坐标。

赝势模型下的哈密顿量为

$H=\sum_{i=1}^N \left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}_i^2}+V(\mathbf{r}_i)\right) +\sum_{i<j}{4\pi\hbar^2a_s\over m}\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j),$

其中$m$为玻色子质量，$V$为外势场，$a_s$为玻色子-玻色子散射长度，$\delta(\mathbf{r})$为狄拉克δ函数。

如果单粒子波函数满足Gross-Pitaevski方程，

$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}^2} + V(\mathbf{r}) + {4\pi\hbar^2a_s\over m}\vert\psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\psi(\mathbf{r})=\mu\psi(\mathbf{r}),$

则总波函数在归一化条件$\int dV |\psi|^2=N$下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。

Gross-Pitaevski方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程。它有类似金兹堡－朗道方程的形式，也会被称为非线性 薛定谔方程.

玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于散射长度时（即所谓的稀薄极限），人们可以用将真实的相互作用势替换为赝势。Gross-Pitaevskii方程的非线性来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时，非线性消失，方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。

方程形式

Gross-Pitaevskii方程的形式类似于一般薛定谔方程，但是多出一个相互作用项。耦合常数$g$正比于两个相互作用玻色子间的散射长度$a_s$

$g=\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}$,

其中$\hbar$为约化普朗克常数。 能量密度为

$\mathcal{E}=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + V(\mathbf{r})\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + \frac{1}{2}g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^4,$

其中$\Psi$为波函数，$V$为外部势场。 对于体系内粒子数守恒的不含时Gross–Pitaevskii方程

$\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})$

其中$\mu$ 为化学势。化学势是从粒子数与波函数间的关系中得到的

$N = \int\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 \, d^3r.$

从不含时Gross-Pitaevskii方程中，我们可以求得各种外势场中玻色爱因斯坦凝聚的内部结构（例如，谐振子势阱）。

含时Gross-Pitaevskii方程为

$i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r},t)\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r},t).$

利用含时Gross–Pitaevskii方程人们可以研究玻色爱因斯坦凝聚的动力学问题。

方程解

鉴于Gross–Pitaevskii方程为非线性偏微分方程，一般很难求得解析解，大多数求解应用近似方法。

精确解

自由粒子

最简单的情况是描述自由粒子，外势场$V(\mathbf{r}) =0$，

$\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}.$

该解常被称为Hartree解。尽管它满足Gross–Pitaevskii方程，由于相互作用，其能谱中含有间隙

$E(\mathbf{k}) = N \left[ \frac{\hbar^2k^2}{2m}+ g \frac{N}{2 V}\right].$

根据Hugenholtz–Pines定理，含斥力相互作用的玻色气体并无能量间隙。

孤子

一维孤子可以构成玻色爱因斯坦凝聚，取决于相互作用是引力还是斥力，形成亮孤子或暗孤子。两种孤子都是均匀密度背景下的定域扰动。如若相互作用是斥力形式的， $g>0$，Gross–Pitaevskii方程的可能解为，

$\psi(x) = \psi_0\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right)$,

其中$\psi_0$为凝聚态波函数在无穷远处的值，$\xi = \hbar/\sqrt{2mn_0g}$为相干长度。此解代表暗孤子，它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失。暗孤子是一种拓扑缺陷，因为$\psi$在经过原点处符号发生翻转。这对应了数学上$\pi$的相移。

对于$g<0$

$\psi(x,t) = \psi(0)e^{-i\mu t/\hbar}\frac{1}{\cosh\left[\sqrt{2m\vert\mu\vert/\hbar^2}x\right]},$

其中化学势为$\mu = g\vert\psi(0)\vert^2/2$。此解为亮孤子, 代表了空间上的凝聚。

变分解

对于难以得到精确解析解的体系，人们可以使用变分法。代入含某可调参数的已知波函数，求解体系自由能，找到使体系能量降为最低的参数。

托马斯-费米近似

如果气体中粒子数量很多，原子间相互作用极大，以至于原子自身动能可以从Gross-Pitaevskii方程中忽略，此时近似为托马斯-费米近似。

$\psi(x,t) = \sqrt{\frac{\mu - V(x)}{NU_0}}$

玻戈留玻夫近似

对Gross-Pitaevskii方程的玻戈留玻夫处理可以找到玻色爱因斯坦凝聚的元激子。凝聚态波函数可以近似为平衡态波函数$\psi_0=\sqrt{n}e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}$与一个小的扰动$\delta\psi$之和

$\psi = \psi_0 + \delta\psi$

此波函数与其复共轭代入到含时Gross–Pitaevskii方程中，对$\delta\psi$作展开近似到第一项（线性化）

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi+V\delta\psi+g(2|\psi_0|^2\delta\psi+\psi^2\delta\psi^*) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi}{\partial t}$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi^*+V\delta\psi^*+g(2|\psi_0|^2\delta\psi^*+\psi^2\delta\psi) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi^*}{\partial t}$

假定$\delta\psi$有如下形式

$\delta\psi = e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}(u(\boldsymbol{r})e^{-i\omega t} - v^*(\boldsymbol{r})e^{i\omega t})$

可以得到如下$u$和$v$的耦合微分方程

$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu-\hbar\omega)u-gnv = 0$

$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu+\hbar\omega)v-gnu = 0$

对于各向同性体系，即$V(\boldsymbol{r})=0$，可以假设$u$和$v$是动量为$\boldsymbol{q}$的平面波，可得能谱

$\hbar\omega = \epsilon_\boldsymbol{q} = \sqrt{\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}(\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}+2gn)}$

当$\boldsymbol{q}$很大时，色散关系呈现为$\boldsymbol{q}$的平方，正如所料类似于非相互作用的激子。当$\boldsymbol{q}$很小，色散关系为线性，

$\epsilon_\boldsymbol{q} = s\hbar q$

其中$s=\sqrt{ng/m}$为凝聚态中的声速。 $\epsilon_\boldsymbol{q}/(\hbar q)>s$表明，根据Landau的判则，该凝聚态为超流体，意味着如果一个物体在凝聚态中以小于$s$的速度运动，它不会形成激子，运动无耗散，此为超流体的特征。实验上，采用高度聚焦激光，激光频率较共振频率小，已经证明了凝聚态的超流性。采用二次量子化公式，微观方法可以描述凝聚态同样的色散关系。

参考文献

Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics

更多阅读

• Pethick, C. J. & Smith, H. Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0521665809 .
• Pitaevskii, L. P. & Stringari, S. Bose–Einstein Condensation. Oxford: Clarendon Press. 2003. ISBN 0198507194 .