Gross-Pitaevskii方程

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Gross–Pitaevskii 方程(以Eugene P. Gross命名[1]Lev Petrovich Pitaevskii[2]) 描述了全同玻色子量子体系的基态,其中使用了Hartree-Fock近似赝势相互作用模型。

在Hartree-Fock近似中,N个玻色子体系的总波函数\Psi为单粒子波函数\psi之积


\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\psi(\mathbf{r}_1)\psi(\mathbf{r}_2)\dots\psi(\mathbf{r}_N)

其中\mathbf{r}_i为第i个玻色子的坐标。

赝势模型下的哈密顿量为


H=\sum_{i=1}^N \left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}_i^2}+V(\mathbf{r}_i)\right)
+\sum_{i<j}{4\pi\hbar^2a_s\over m}\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j),

其中m为玻色子质量,V为外势场,a_s为玻色子-玻色子散射长度,\delta(\mathbf{r})为狄拉克δ函数。

如果单粒子波函数满足Gross-Pitaevski方程,


\left(-\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}^2} + V(\mathbf{r})  + {4\pi\hbar^2a_s\over m}\vert\psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\psi(\mathbf{r})=\mu\psi(\mathbf{r}),

则总波函数在归一化条件\int dV |\psi|^2=N下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。

Gross-Pitaevski方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程。它有类似金兹堡-朗道方程的形式,也会被称为非线性薛定谔方程.

玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于散射长度时(即所谓的稀薄极限),人们可以用将真实的相互作用势替换为赝势。Gross-Pitaevskii方程的非线性来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时,非线性消失,方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。

方程形式[编辑]

Gross-Pitaevskii方程的形式类似于一般薛定谔方程,但是多出一个相互作用项。耦合常数g正比于两个相互作用玻色子间的散射长度a_s

g=\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m},

其中\hbar为约化普朗克常数能量密度

\mathcal{E}=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + V(\mathbf{r})\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + \frac{1}{2}g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^4,

其中\Psi为波函数,V为外部势场。 对于体系内粒子数守恒的不含时Gross–Pitaevskii方程

\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})  + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})

其中\mu化学势。化学势是从粒子数与波函数间的关系中得到的

N = \int\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 \, d^3r.

从不含时Gross-Pitaevskii方程中,我们可以求得各种外势场中玻色爱因斯坦凝聚的内部结构(例如,谐振子势阱)。

含时Gross-Pitaevskii方程为

i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r},t)\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r},t).

利用含时Gross–Pitaevskii方程人们可以研究玻色爱因斯坦凝聚的动力学问题。

方程解[编辑]

鉴于Gross–Pitaevskii方程为非线性偏微分方程,一般很难求得解析解,大多数求解应用近似方法。

精确解[编辑]

自由粒子[编辑]

最简单的情况是描述自由粒子,外势场V(\mathbf{r}) =0

\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}.

该解常被称为Hartree解。尽管它满足Gross–Pitaevskii方程,由于相互作用,其能谱中含有间隙

E(\mathbf{k}) = N \left[ \frac{\hbar^2k^2}{2m}+ g \frac{N}{2 V}\right].

根据Hugenholtz–Pines定理[3],含斥力相互作用的玻色气体并无能量间隙。

孤子[编辑]

一维孤子可以构成玻色爱因斯坦凝聚,取决于相互作用是引力还是斥力,形成亮孤子或暗孤子。两种孤子都是均匀密度背景下的定域扰动。如若相互作用是斥力形式的, g>0,Gross–Pitaevskii方程的可能解为,

\psi(x) = \psi_0\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right),

其中\psi_0为凝聚态波函数在无穷远处的值,\xi = \hbar/\sqrt{2mn_0g}相干长度。此解代表暗孤子,它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失。暗孤子是一种拓扑缺陷,因为\psi 在经过原点处符号发生翻转。这对应了数学上\pi相移

对于g<0

\psi(x,t) = \psi(0)e^{-i\mu t/\hbar}\frac{1}{\cosh\left[\sqrt{2m\vert\mu\vert/\hbar^2}x\right]},

其中化学势为\mu = g\vert\psi(0)\vert^2/2。此解为亮孤子, 代表了空间上的凝聚。

一维方势阱[编辑]

变分解[编辑]

对于难以得到精确解析解的体系,人们可以使用变分法。代入含某可调参数的已知波函数,求解体系自由能,找到使体系能量降为最低的参数。

托马斯-费米近似[编辑]

如果气体中粒子数量很多,原子间相互作用极大,以至于原子自身动能可以从Gross-Pitaevskii方程中忽略,此时近似为托马斯-费米近似

\psi(x,t) = \sqrt{\frac{\mu - V(x)}{NU_0}}

玻戈留玻夫近似[编辑]

对Gross-Pitaevskii方程的玻戈留玻夫处理可以找到玻色爱因斯坦凝聚的元激子。凝聚态波函数可以近似为平衡态波函数\psi_0=\sqrt{n}e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}与一个小的扰动\delta\psi之和

\psi = \psi_0 + \delta\psi

此波函数与其复共轭代入到含时Gross–Pitaevskii方程中,对\delta\psi作展开近似到第一项(线性化)

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi+V\delta\psi+g(2|\psi_0|^2\delta\psi+\psi^2\delta\psi^*) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi}{\partial t}
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi^*+V\delta\psi^*+g(2|\psi_0|^2\delta\psi^*+\psi^2\delta\psi) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi^*}{\partial t}

假定\delta\psi有如下形式

 \delta\psi = e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}(u(\boldsymbol{r})e^{-i\omega t} - v^*(\boldsymbol{r})e^{i\omega t})

可以得到如下uv的耦合微分方程

 (-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu-\hbar\omega)u-gnv = 0
 (-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu+\hbar\omega)v-gnu = 0

对于各向同性体系,即V(\boldsymbol{r})=0,可以假设uv是动量为\boldsymbol{q}平面波,可得能谱

 \hbar\omega = \epsilon_\boldsymbol{q} = \sqrt{\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}(\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}+2gn)}

\boldsymbol{q}很大时,色散关系呈现为\boldsymbol{q}的平方,正如所料类似于非相互作用的激子。当\boldsymbol{q}很小,色散关系为线性,

\epsilon_\boldsymbol{q} = s\hbar q

其中s=\sqrt{ng/m}为凝聚态中的声速。 \epsilon_\boldsymbol{q}/(\hbar q)>s表明,根据Landau的判则,该凝聚态为超流体,意味着如果一个物体在凝聚态中以小于s的速度运动,它不会形成激子,运动无耗散,此为超流体的特征。实验上,采用高度聚焦激光,激光频率较共振频率小,已经证明了凝聚态的超流性[4]。采用二次量子化公式,微观方法可以描述凝聚态同样的色散关系。

参考文献[编辑]

  1. ^ Gross, E.P. Structure of a quantized vortex in boson systems. Il Nuovo Cimento. May 1961, 20 (3): 454–457. doi:10.1007/BF02731494. 
  2. ^ Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas. Soviet Physics JETP. 1961, 13 (2): 451–454 [2011-03-31]. 
  3. ^ Hugenholtz, N. M.; Pines, D. Ground-state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons. Physical Review. 1959, 116 (3): 489–506. Bibcode:1959PhRv..116..489H. doi:10.1103/PhysRev.116.489. 
  4. ^ Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas C. Raman, M. Köhl, R. Onofrio, D. S. Durfee, C. E. Kuklewicz, Z. Hadzibabic, and W. Ketterle

Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics

更多阅读[编辑]

  • Pethick, C. J. & Smith, H. Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases. Cambridge: Cambridge University Press. 2002. ISBN 0521665809. .
  • Pitaevskii, L. P. & Stringari, S. Bose–Einstein Condensation. Oxford: Clarendon Press. 2003. ISBN 0198507194. .