HOMFLY多項式

在紐結理論中，HOMFLY多項式或HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的多項式紐結不變量；透過變元代換，它可以涵括瓊斯多項式與亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者：Hoste、Ocneanu、Millet、Freyd、Lickorish、Yetter；「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Prztycki 與 Traczyk。

絞關係

HOMFLY多項式 $P_K(\ell, m) = P(K)$ 由下述絞關係唯一地定義：

$P( \mathrm{unknot} ) = 1,\,$

$\ell P(L_+) + \ell^{-1}P(L_-) + mP(L_0)=0,\,$

其中 $L_+, L_-, L_0$ 代表結圖表在某個交點附近的性狀，如次圖所示：

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式，亦可導出

$P(L_1 \sqcup L_2) = \frac{-(l+l^{-1})}{m} P(L_1)*P(L_2)$

其它絞關係

透過適當的變元代換，上節的絞關係可換為

$\alpha P(L_+) - \alpha^{-1}P(L_-) = zP(L_0)$

主要性質

與瓊斯多項式的關係：

$V(t)=P(\alpha=t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

與亞歷山大多項式的關係：

$\Delta(t)=P(\alpha=1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

對鏡像與連通和的關係：

$P(L_1 \# L_2)=P(L_1)P(L_2),\,$

$P_K(\ell,m)=P_\mathrm{Mirror Image(K)}(\ell^{-1},m)$

相關文獻

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4