HOMFLY多項式

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紐結理論中,HOMFLY多項式HOMFLY-PT多項式是一種雙變元的多項式紐結不變量;透過變元代換,它可以涵括瓊斯多項式亞歷山大多項式在三維的情形。

「HOMFLY」一名得自該多項式的發現者:Hoste、Ocneanu、Millet、Freyd、Lickorish、Yetter;「PT」二字旨在紀念另兩位獨立發現此結不變量的數學家 Prztycki 與 Traczyk。

絞關係[编辑]

HOMFLY多項式 P_K(\ell, m) = P(K) 由下述絞關係唯一地定義:

P( \mathrm{unknot} ) = 1,\,
\ell P(L_+) + \ell^{-1}P(L_-) + mP(L_0)=0,\,

其中 L_+, L_-, L_0 代表結圖表在某個交點附近的性狀,如次圖所示:

Skein (HOMFLY).png

上述關係可用以遞迴計算任一紐結之HOMFLY多項式,亦可導出

P(L_1 \sqcup L_2) = \frac{-(l+l^{-1})}{m} P(L_1)*P(L_2)

其它絞關係[编辑]

透過適當的變元代換,上節的絞關係可換為

\alpha P(L_+) - \alpha^{-1}P(L_-) = zP(L_0)

主要性質[编辑]

與瓊斯多項式的關係:

V(t)=P(\alpha=t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

與亞歷山大多項式的關係:

\Delta(t)=P(\alpha=1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})

對鏡像與連通和的關係:

P(L_1 \# L_2)=P(L_1)P(L_2),\,
P_K(\ell,m)=P_\mathrm{Mirror Image(K)}(\ell^{-1},m)

相關文獻[编辑]