Hankel变换

汉克尔变换是指对任何给定函数 $f(r)$ 以第一类贝塞尔函数 $J_{\nu}(kr)$ 作无穷级数展开，贝塞尔函数 $J_{\nu}(kr)$ 的阶数不变，级数各项 $k$ 作变化。各项 $J_{\nu}(kr)$ 前系数 $F_{\nu}$ 构成了变换函数。对于函数 $f(r)$, 其 $\nu$ 阶贝塞尔函数的汉克尔变换（$k$ 为自变量）为

$F_{\nu}(k)=\int_{0}^{\infty}f(r)J_{\nu}(kr)rdr$

其中，$J_{\nu}$ 为阶数为 $\nu$ 的第一类贝塞尔函数，$\nu\ge-1/2$。对应的，逆汉克尔变换 $F_{\nu}(k)$ 定义为

$f(r)=\int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(kr)kdk$

汉克尔变换是一种积分变换，最早由德国数学家 Hermann Hankel 提出，又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

正交性

贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:

$\int_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~\operatorname{d}r = \frac{\delta (k-k')}{k}$

其中 $k$ 与 $k'$ 大于零。

与其他函数变换的关系

傅立叶变换

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 $F(\boldsymbol{r})$ ，径向矢量为 $\boldsymbol{r}$，其傅立叶变换为

$F(\boldsymbol{k})=\iint f(\boldsymbol{r})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{r}$

不失一般性，选择极坐标 $(r,\theta)$ ，使得矢量 $\boldsymbol{k}$ 方向指向 $\theta=0$ 。极坐标下的傅立叶变换写作

$F(\boldsymbol{k})=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)e^{ikr\cos\theta}rdrd\theta$

其中 $\theta$ 为矢量 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{r}$ 间夹角。如果函数 $f$ 恰为圆对称不依赖角变量 $\theta$ ，$f\equiv f(r)$ ，对角度 $\theta$ 的积分可以提出，傅立叶变换写作

$F(\boldsymbol{k})=F(k)=2\pi\int_{0}^{\infty}f(r)J_{0}(kr)rdr$

此式恰为 $f(r)$ 的零阶汉克尔变换的 $2\pi$ 倍。

常见汉克尔变换函数对

$f(r)\,$	$F_0(k)\,$
$1\,$	$\delta(k)/k\,$
$1/r\,$	$1/k\,$
$r\,$	$-1/k^3\,$
$r^3\,$	$9/k^5\,$
$r^{m}\,$	$\frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\,$ for -2<Re(m)<-1/2
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\,$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,$
$\frac{1}{r^2+z^2}\,$	$K_0(kz)\,$, $z$可为复数
$e^{iar}/r\,$	$i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,$
$\,$	$1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,$
$e^{-a^2r^2/2}\,$	$\frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}$
$-r^2 f(r)\,$	$\frac{\operatorname{d}^2 F_0}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_0}{\operatorname{d}k}$
$f(r)\,$	$F_{\nu}(k)\,$
$r^s\,$	$\frac{\Gamma\left(\frac 1 2 (2+\nu+s)\right)}{\Gamma(\tfrac 1 2 (\nu-s))} \frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \,$
$r^{\nu-2s}\Gamma\left(s,r^2 h\right)\,$	$\frac12 \left(\frac k 2\right)^{2s-\nu-2}\gamma\left(1-s+\nu,\frac{k^2}{4h}\right)\,$
$e^{-r^2}r^\nu U\left(a,b,r^2\right)\,$	$\frac{\Gamma(2+\nu-b)}{2\Gamma(2+\nu-b+a)}\left(\frac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}4}\,_1F_1\left(a,2+a-b+\nu,\frac{k^2}4\right)$
$-r^2 f(r)\,$	$\frac{\operatorname{d}^2 F_\nu}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_\nu}{\operatorname{d}k}-\frac{\nu^2}{k^2}F_\nu$