Hankel变换

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汉克尔变换是指对任何给定函数 f(r) 以第一类贝塞尔函数 J_{\nu}(kr) 作无穷级数展开,贝塞尔函数 J_{\nu}(kr) 的阶数不变,级数各项 k 作变化。各项 J_{\nu}(kr) 前系数 F_{\nu} 构成了变换函数。对于函数 f(r), 其 \nu 阶贝塞尔函数的汉克尔变换(k 为自变量)为

F_{\nu}(k)=\int_{0}^{\infty}f(r)J_{\nu}(kr)rdr

其中,J_{\nu} 为阶数为 \nu 的第一类贝塞尔函数,\nu\ge-1/2。对应的,逆汉克尔变换 F_{\nu}(k) 定义为


f(r)=\int_{0}^{\infty}F_{\nu}(k)J_{\nu}(kr)kdk

汉克尔变换是一种积分变换,最早由德国数学家 Hermann Hankel 提出,又被称为傅立叶-贝塞尔变换。

正交性[编辑]

贝塞尔函数构成 正交函数族 权重因子为 r:


\int_0^\infty J_\nu(kr)J_\nu(k'r)r~\operatorname{d}r = \frac{\delta (k-k')}{k}

其中 kk' 大于零。


与其他函数变换的关系[编辑]

傅立叶变换[编辑]

零阶汉克尔函数即为圆对称函数的二维傅立叶变换。给定二维函数 F(\boldsymbol{r}) ,径向矢量为 \boldsymbol{r},其傅立叶变换为


F(\boldsymbol{k})=\iint f(\boldsymbol{r})e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}d\boldsymbol{r}

不失一般性,选择极坐标 (r,\theta) ,使得矢量 \boldsymbol{k} 方向指向 \theta=0 。极坐标下的傅立叶变换写作


F(\boldsymbol{k})=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)e^{ikr\cos\theta}rdrd\theta

其中 \theta 为矢量 \boldsymbol{k}\boldsymbol{r} 间夹角。如果函数 f 恰为圆对称不依赖角变量 \thetaf\equiv f(r) ,对角度 \theta 的积分可以提出,傅立叶变换写作

F(\boldsymbol{k})=F(k)=2\pi\int_{0}^{\infty}f(r)J_{0}(kr)rdr

此式恰为 f(r) 的零阶汉克尔变换的 2\pi 倍。

常见汉克尔变换函数对[编辑]

f(r)\, F_0(k)\,
1\, \delta(k)/k\,
1/r\, 1/k\,
r\, -1/k^3\,
r^3\, 9/k^5\,
r^{m}\, \frac{2^{m+1}\Gamma(m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma(-m/2)}\, for -2<Re(m)<-1/2
\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\, \frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}K_{-1/2}(k|z|)\,
\frac{1}{r^2+z^2}\, K_0(kz)\,, z可为复数
e^{iar}/r\,  i/\sqrt{ a^2 - k^2} \quad (a>0, k<a) \,
 \,  1/\sqrt{ k^2 - a^2} \quad (a>0, k>a) \,
e^{-a^2r^2/2}\, \frac{e^{-k^2/2a^2}}{a^2}
-r^2 f(r)\, \frac{\operatorname{d}^2 F_0}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_0}{\operatorname{d}k}
f(r)\, F_{\nu}(k)\,
r^s\, \frac{\Gamma\left(\frac 1 2 (2+\nu+s)\right)}{\Gamma(\tfrac 1 2 (\nu-s))} \frac{2^{s+1}}{k^{s+2}} \,
r^{\nu-2s}\Gamma\left(s,r^2 h\right)\, \frac12 \left(\frac k 2\right)^{2s-\nu-2}\gamma\left(1-s+\nu,\frac{k^2}{4h}\right)\,
e^{-r^2}r^\nu U\left(a,b,r^2\right)\, \frac{\Gamma(2+\nu-b)}{2\Gamma(2+\nu-b+a)}\left(\frac k 2\right)^\nu e^{-\frac{k^2}4}\,_1F_1\left(a,2+a-b+\nu,\frac{k^2}4\right)
-r^2 f(r)\, \frac{\operatorname{d}^2 F_\nu}{\operatorname{d}k^2}+\frac{1}{k}\frac{\operatorname{d}F_\nu}{\operatorname{d}k}-\frac{\nu^2}{k^2}F_\nu